7483798698

43.    Uzasadnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n > 2 spełniona jest równość (n - 2)- (n - 2)+(n -1)- (n - l)+n • n!= (n + l)-(n - 2). [MR/4pkt]

44.    Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych liczb. Rozw: {-l,0,l,2} [MRV2012/4pkt]

45.    Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych (x, y) które spełniają równanie:

(2x-y + lXx-y + l) = 7. Rozw: (6,6), (-6,-12), (-6,-4), (6,14) [MR/5pkt]

46.    Wyznacz cztery kolejne liczby naturalne takie, że sześcian największej z nich jest równy sumie sześcianów trzech pozostałych liczb. Rozw: 3, 4, 5, 6. [MR/5pkt]

47.    Wykaż, że jeżeli x+y = 4 to x³ + y³ > 16. [MR/4pkt]

48.    Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi nierówność: a² + 4b² +3c² +13 > 2a +12b + 6c. [MR/4pkt]

_x2 + _y2 ₊ z2 1

49.    Wykaż, ze jeżeli x+y+z=0 to --—--rr- = -. [MR/3pkt]

(x-yX+(y-z) +(z-x)    3

50. Uzasadnij, że jeżeli a^b, a * c, b^c i a + b = 2c to —-—i—-— = 2. [MRV201 l/4pkt]

a —c b—c

51.    Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c id prawdziwa jest nierówność:

ac+bd < va +b' -Vc +d'. [MRVI2012/3pkt]

52.    Udowodnij, że jeżeli a,b>0, to prawdziwa jest nierówność a³+b³ >a²b + ab². [MRMpkt]

53.    Udowodnij, że jeżeli a,b > 0, to prawdziwa jest nierówność 4a³ +b³ > 3ab². [MRV2012/3pkt]

54.    Uzasadnij, że jeżeli 2a+b > 0, to 2a’+b³>3a²b.    [MRVI2013/3pkt]

55.    Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b spełniona jest nierówność:

[ M R YIII2010/4pkt]

56.    Wykaż, że jeżeli liczby dodatnie a i b spełniają warunek J—= ———, to a = b. [MRMpkt]

Vb a+3b

57.    W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj zbiór punktów, których współrzędne spełniają warunek x²+(jy|-2)² =16. [MR/3pkt]

58.    Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów (x, y), których współrzędne spełniają równanie: x + |x| = y + |y|. [MRMpkt]