3860644226

Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ^ 1 prawdziwe jest równanie:

1 + 2 + 3 + ... + n —

n(n + 1) 2

Rozwiązanie:

Indukcja matematyczna 1. Sprawdzam równanie dla n = 1

L = 1

L = P

2. Zakładam, że równanie jest prawdziwe dla pewnej liczby k ^ 1

1 + 2 + 3+ .. .+/c —

fc(A: + 1)

2

3. Udowadniam prawdziwość równania dla A: + 1 korzystając z założenia

1 + 2 + 3 + ... + A: + A;+1 —

(A" + 1)(A: +1 + 1)

2

Dowód:

L = 1 + 2 + 3 + ... + A: + A: + 1 = [w tym miejscu korzystam z założenia (2.)]

_ k(k +    A:(A: + 1) _i 2(k + 1) _

⁺ 2 2 ^_

A:(* + 1) + 2(A: + 1)    (A:+l)(A: + 2)

2 2 _ (A~ + 1)(A~ + 1 + 1) _

2

L = P

Udowodniłem, że jeżeli wzór jest prawdziwy dla liczby k, to jest on prawdziwy dla liczby A: + 1. Oznacza to, że jeżeli jest prawdziwy dla 1, to jest prawdziwy dla 2. Jeżeli jest prawdziwy dla 2 to jest prawdziwy dla 3 itd. Zatem jest on prawdziwy dla wszystkich liczb naturalnych n > 1.

komentarz video