31 (272)

1.8. Indukcja matamafyczna

mmmmmmam

Metodą indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n zachodzi równość:

i

(»+o

n + 2 2(«+0'

Komentarz

Rozwiązanie

Sprawdzimy słuszność twierdzenia dla n₀ = 1 (etap 1 *).

1=1-

(1 + 1

_r- 1+2    3

2(1 + 1)    4

L = P

1 _₌₁_JL₌3

² 2^J i

Formułujemy implikację (etap 2‘).

Założenie:

	M. .1	1	1 I
l j§ V	f) 1		(*+l)^2J
k + 2 2(k+ 1) ^dla	1
	i
	Teza:
	1 I .	1 -	1 )
\ 2^2) V	3^2) -		(*+l)^2J
(l ^1	k + 3
| (k p 2)^2	2(k + 2)

1. LICZBY I ICH ZBIORY

Przeprowadzimy dowód implikacji (cd. etapu 2‘).

HU

1 -

1

1 -

1

k + 2

(k + 2)²)    ²(*+l)

_{k +} 2 (* + 2) - 1

1 -

(*+!)’ 1

(k + 21

;* + 2)²-i

2(k + l) (_{k + 2})²    2(k+l)(k + 2)

_ k²+4k + 4- I _    Ł²+4* + 3    _

2(k+l)(k + 2)    2(*+l)(* + 2)

k² + k + 3k + 3 k(k+l) + 3(k+l) 2 (jfc + l)(fc + 2)    2(*+l)(* + 2)

= P

(*+!)(* +3) A; + 3 2(k+ 1)(* + 2)    2 [k + 2)

Formułujemy uzasadnienie.

Na mocy 1° i 2° równość

(.__1    | _ n + 2

|    (/i+ l)^{ł 2}(n + §

jest prawdziwa dla każdej dodatniej liczby naturalnej n.

i