3860644229

Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n > li a > — 1 prawdziwa jest nierówność Bernoulliego:

(1 d- a)ⁿ > 1 + na

Rozwiązanie:

Indukcja matematyczna

1. Sprawdzam nierówność dla n = 1

L=(l + a)¹=l + a    P = l + la=l+a

L> P

2. Zakładam, że nierówność jest prawdziwa dla pewnej liczby A: > 1

(Id^- ^ 1 d^- ko

3. Udowadniam prawdziwość nierówności dla k + 1 korzystając z założenia

(1 + a)^{A 1} ^ 1 + (A' d- l)o

Dowód:

L = (1 + a)^k+1 = (1 + a)^fc(l + a) >

Korzystam z założenia (2 ). Nierówność jest prawdziwa, bo 1 + a > 0 dla a > —1.

^ (1 A:a)(l d^- a) ⁼ 1 d^- a d^- kci d^- ka~

I a(l d^- A:) d^- k(i~ ⁼ 1 d~ a(A: d^-1) d^- ko? ^

Dla k naturalnego mam ka² ^ 0, więc jak opuszczę ko? otrzymam wyrażenie o mniejszych wartościach

^ 1 d^- o{k d^- 1) ⁼ P

L> P

Udowodniłem, że jeżeli nierówność jest prawdziwa dla liczby k, to jest on prawdziwy dla liczby A;d-1. Oznacza to, że jeżeli jest prawdziwa dla 1, to jest prawdziwa dla 2. Jeżeli jest prawdziwy dla 2 to jest prawdziwa dla 3 itd. Zatem jest on prawdziwa dla wszystkich liczb naturalnych.