3860644227

Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n > 1 prawdziwe jest równanie:

1 d^- 3 d^- 5 + ... + (2n — 1) — ji~

Rozwiązanie:

Indukcja matematyczna

1.    Sprawdzam równanie dla n = 1

L = 2 ■ 1 - 1 = 1    P= l² = 1

L = P

2.    Zakładam, że równanie jest prawdziwe dla pewnej liczby k > 1

1 + 3 + 5 + ... + (2A- - 1) = A-²

3.    Udowadniam prawdziwość równania dla A: + 1 korzystając z założenia

1 + 3 + 5 + ... + (2A: — l) + [2(fc+l) — 1] = (A; + 1)²

Dowód:

L = l + 3 + 5 + ... + (2k — 1) + [2(A^- + 1) — 1] = [korzystam z założenia 2.)

= k² + [2(A; + 1) - 1] = k² + 2k + 2 - 1 =

= k² + 2k+l = (k + 1)² = P

L = P

Udowodniłem, że jeżeli wzór jest prawdziwy dla liczby k, to jest on prawdziwy dla liczby A: + 1. Oznacza to, że jeżeli jest prawdziwy dla 1, to jest prawdziwy dla 2. Jeżeli jest prawdziwy dla 2 to jest prawdziwy dla 3 itd. Zatem jest on prawdziwy dla wszystkich liczb naturalnych n > 1.

komentarz video