3860644228

Korzystając z zasady indukcji matematycznej, udowodnij, że każda liczba naturalna n > 5 spełnia nierówność 2” > n² + n — 1.

Rozwiązanie:

Indukcja matematyczna

1. Dla n = 5 nierówność jest prawdziwa.

2^5 > 5^2 + 5 - 1 32 > 29

2.    Zakładam, że nierówność jest prawdziwa dla pewnej liczby A: > 5

2^k >k² + k- 1

3.    Udowadniam prawdziwość nierówności dla k + 1 korzystając z założenia

	2^k+1 > (k + l)^2 + k + 1 - 1
Dowód: P = (k + l)^2 + * + 1 -	- 1 = k^2 + 2k + 1 + k =
	~ k^2 -|- k — 1 -|- 2k + 2 <! (2k J- 2 < k^2 -|- k — 1)
	<k^2+k-l+k^2 + k-l =
	= 2 • (A;^2 + k - 1) < 2 • 2^k = 2^a +1 = L
	P < L
	L > P

Udowodniłem, że jeżeli nierówność jest prawdziwa dla liczby k, to jest ona prawdziwa dla liczby k + 1. Oznacza to, że jeżeli jest prawdziwa dla 5, to jest prawdziwa dla 6. Jeżeli jest prawdziwa dla 6 to jest prawdziwa dla 7 itd. Zatem jest ona prawdziwa dla wszystkich liczb naturalnych

n > 5.