zestaw 3

III.

1.    Udowodnij, korzystając z zasady indukcji matematycznej, że

cos(x)|sin(2nx)    i cos(x)|cos[(2n-l)x].

2.    Udowodnij, że zbiór funkcji:

F =    {    f₁(X) = X ,f₂(X) = 1-X , f₃(X) = l/x, f₄(X) = l-l/x,

f₅(x) = 1/(1“X) ,f_g(x) = X/(X-1)    }

tworzy grupę z działaniem superpozycji funkcji (o), zdefiniowanym następująco:

(f_xo f₂)(x) = f₁(f₂(x)).

Czy jest to grupa przemienna ?

3.    Rozwiąż równanie:

x³- 3ix²- 6x + 2 + 4i = 0 .

4.    Oblicz pierwiastki równania dwukwadratowego:

z⁴+ (l+4i)z²- (5+i) = 0 .

5.    Oblicz pierwiastki ósmego stopnia z liczby:

z = -1/2 - iV3/2 .

Przedstaw te pierwiastki w postaci trygonometrycznej i kanonicznej. Wskaż ich położenie na płaszczyźnie Gaussa.