3582525325

Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n > 1 prawdziwy jest wzór:

1 • 3 • (l!)² + 2 • 4 • (2!)² + • • ■ + n(n + 2)(n!)² = [(n + l)!]² - 1

Rozwiązanie:

Indukcja matematyczna

1.    Sprawdzam wzór dla n = 1:

L= 1 • (1 + 2) • (l!)² = 1 • 3 • (l!)² = 3    P = [(1 + l)!]² — 1 = 2²—1=3

L = P

2.    Zakładam, że wzór jest prawdziwy dla pewnej liczby A

1 • 3 ■ (l!)² + 2 ■ 4 • (2!)² + • • • + A(A + 2)(A!)² = [(A: + l)!]² - 1

3.    Korzystając z założenia udowodniam, że jest on prawdziwy dla A + 1

1 • 3 • (l!)² + 2 • 4 • (2!)² + • ■ • + (A- + 1)(A + 1 + 2)[(A + l)!]² = [(A + 1 + l)!]² - 1

Dowód:

L = 1 • 3 • (l!)² + 2 • 4 • (2!)² + ■ • • + k(k + 2)(A!)² + (k + 1 )(A + 3)[(fc + l)!]² = w tym miejscu korzystam z założenia (2.)

= [(A + l)!]² — 1 + (A + 1)(A + 3)[(A + 1)!]“ =

= [(A + l)!]² + (A + 1)(A + 3)[(A + l)!]² - 1 =

= [(A+l)!]²[l + (A + l)(A + 3)]-l =

= [(A + 1)!]²[1 + A² + 3A + A + 3] - 1 =

= [(A+1)!]²[A²+ 4A + 4] - 1 =    »

= [(A + 1)!]²(A + 2)² — 1 =

= [(A + 1)!(A + 2)]² — 1 =    »

= [(A + 2)!]²-l =

= [(A + 1 + 1 )!]² — \ = P

L = P

Udowodniłem, że jeżeli wzór jest prawdziwy dla liczby A, to jest on prawdziwy dla liczby A + 1.

Oznacza to, że jeżeli jest prawdziwy dla 1, to jest prawdziwy dla 2. Jeżeli jest prawdziwy dla 2

to jest prawdziwy dla 3 itd. Zatem jest on prawdziwy dla wszystkich liczb naturalnych n > 1.