3582525327

Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ^ 1 prawdziwe jest równanie:

n(4n² — 1) 3

l² + 3² + 5² + ... + (2n - l)²

Rozwiązanie:

Indukcja matematyczna 1. Sprawdzam równanie dla n = 1

1

1(4 ■ l² — 1)    1(4-1)

3

3

L = P

2. Zakładam, że równanie jest prawdziwe dla pewnej liczby k 1

₂ _ k(4k² - 1)

l² + 3² + 5² + ... + (2k- l)²

3. Udowadniam prawdziwość równania dla k + 1 korzystając z założenia

2    (& + 1)(4(A: + l)² — 1)

l² + 3² + 5² + ... + (2* - l)² + (2(fc + 1) - l)² (k + l)(4(fc + l)² — 1) _ (k + 1) [4{k² + 2k + 1) - l]

3    3

(k + l)(4fc² + 8k + 4 - 1)    (k+ 1)(4k² + 8k + 3)

3    3

4 k³ + 8k² + 3fc + 4A;² + 8k + 3    4 k³ + 12A:² + 1 lk + 3

2    „2 r2    1\2 /ni    i\2    4A:® + 12fc² + 11 At + 3

l² +    3² + 5²    + ... + (2fc - l)²    + (2k +    l)²    =---

Dowód:

L = l² + 3² + 5² + ... + (2* - l)² + (2A; + l)²

m² - 1) , _(2/: , ₁₎₂ _    - 1) + 3(2fc + l)²

3    3

» 4k³ -k + 3(4k² + 4fc + 1) _ 4fc³ - k + 12k² + 12fc + 3

4fc³ + 12k² + llfc + 3

= P

L = P

Udowodniłem, że jeżeli wzór jest prawdziwy dla liczby k, to jest on prawdziwy dla liczby k + 1. Oznacza to, że jeżeli jest prawdziwy dla 1, to jest prawdziwy dla 2. Jeżeli jest prawdziwy dla 2 to jest prawdziwy dla 3 itd. Zatem jest on prawdziwy dla wszystkich liczb naturalnych n ^ 1.