1C. ZASADA INDUKCJI MATEMATYCZNEJ 21

ształceń

ZADANIA

10.1. Udowodnij, źe dla każdej liczby naturalnej n > 1 zachodzi:

a)    1*1! + 2-2! + 3-3! + ...+«•«! -(n + 1)! -Y?

b)    1 + 2 + 2² + 2^J + ... + 2*"¹ • 2*- 1,

. J_ ₊J_₊_L_{+ |}    1    _ *»

1-2 ⁺ 2-3⁺ 3-4 "* n(« + l) w + l’

Q 1 ł 1    _|    1    _r n

& 1-4 ⁺ 4-7 ⁺ 7*10⁺" ⁺ (3w-2X3m + 1) * 3/i + T

c) l-2 + 2-3 + 3-4 + ... + /t(n + l) =

«(/t + lX« + 2)

itałcamy

-2² + 3² -4² +...+(-l)"^'«² = (-l)

g)    l^ł + 2^ł +3^ł +... + n³ =(l + 2 + 3 + ... + «)², ⁷

h)    I¹4-2^z .3^a +—+ff² . n(2n-lX2n + l)^

„,i n(n + \)

■2 ' 7    _

i) ]-2-3 + 2-3-4 + 3-4 5 + ...+«(n + lXn + 2) =

n(n 41 Xw + 2X«-?-3)

it liczbą ralnej n,

ści.

iwdziwe

•owadziej wyżej prostych

wynika a każdej

0 1 2

n -1

j) 1---r —• 4 ... H--= 1 ——,

^J 1! 2! 3! n\ n\

(mn +1 )(n 4 2X* + 3)...(2«)« 2" ■ 1 • 3 • 5•...• (2/» -1), ^)j)-243-44...-2« = -rt. *

10.2. Udowodnij, żc prawdziwa jest nierówność:

a)    (a 4 b)ⁿ > a” + b", dla dowolnych a, b > 0, neN*,

b)    2*> n², dla dowolnego n S 5,

_x 1 l 1    11    ..

c)    —4-4-4...4 —    , neN.,

n n 4l n 4 2    2n 2

_Jx l 1    1    1    ,

d) -4-4-4...4->1, neN_r,

n 41 n 4 2 ;i + j    3«4l

unków

^c)'"^s(^£r)'

neN.

•rdzenie

0 (/>!)*&«", neA^r,. 3.

a)

«4i n+Ł n

n-i.vi-.Ivi-

16

10.3. Udowodnij, że dla każdego n 12 prawdziwa jest nierówność: 1

— 4 — 4    + — > —

w 41 n 42 n + 3    2n 24’

n~    2 n

,111 1 _r ^c)vT⁺T:⁺^⁺'"⁺X^>7;r'

«4l    (n!)²