Untitled Scanned 40

104

Ostatni z tych aksjomatów to dobrze znana zasada indukcji matematycznej, w której A{x) oznacza dowolną formulę zdaniową. Ściśle biorąc, nie jest to pojedynczy aksjomat, ale schemat nieskończenie wielu konkretnych aksjomatów, które można otrzymać przez wybieranie konkretnych formuł A{x). Wyjaśniamy, że A(0) oznacza tutaj formułę powstającą z A (x) przez zastąpienie zmiennej x na tych wszystkich miejscach, na których jest ona wolna w A{x) symbolem 0. Podobnie, A(S(x)) powstaje z A (x) przez zastąpienie wszystkich wolnych wystąpień zmiennej x termem S (x).

Z aksjomatów I 15 można wyprowadzić wszystkie podstawowe twierdzenia elementarnej teorii liczb naturalnych.

Warto jeszcze zwrócić uwagę na pewną różnicę pomiędzy omówioną poprzednio teorią mnogości i opisaną tutaj arytmetyką liczb naturalnych. W teorii mnogości Zermcla zmienne reprezentowały najzupełniej dowolne przedmioty, a więc również wszelkiego rodzaju przedmioty nie będące zbiorami. Tutaj, tzn. w arytmetyce, przyjęta jest milcząco umowa, że zmienne reprezentują wyłącznie liczby naturalne 0, 1, 2, 3, ...

§ 4. ELEMENTARNA TEORIA GRUP

Elementarna teoria grup jest pewną zupełnie abstrakcyjną teorią. Jej język zawiera oprócz stałych logicznych, zmiennych indy wid uowych i nawiasów tylko jeden predykat = i jeden symbol funkcyjny dwuargumentowy -h Definicje pojęć syn tak tycznych odnoszących się do tego języka (term, formuła zdaniowa itd.) są analogiczne jak dla arytmetyki, nic ma więc potrzeby ich przytaczania. Aksjomatami tej teorii są następujące formuły zdaniowe:

1.	X ~ X,	5.	x = y -> z+x = z+y.
2.	x = y -» y = x,	6.	x + (y+z) = (x -f y) 4- z,
3.	X = y a y = z —► x = z,	7.	V(x + z = >'),
4.	x = y -> x + z = y-r-z,	8.	V (^z+x = y)-

Mówiąc, że teoria ta jest zupełnie abstrakcyjna, mieliśmy na myśli to, iż nie jest tutaj z góry ustalone, jakie przedmioty reprezentują zmienne tej teorii, jakie działanie oznacza symbol funkcyjny +, ani nawet to, jaką relację oznacza predykat =. Teorię grup sformułowano od razu z myślą o wiciu różnych jej interpretacjach. Zauważono bowiem, żc można na bardzo wiele różnych sposobów dobrać zbiór U, działanie dwuargumentowe ą- w tym zbiorze i relację dwuczłonową =, takie, że gdy się przyjmie, iż zmienne reprezentują