Wykaż, żc dla każdej liczby naturalnej n liczba 2
+ 9
jest podziclna przez 1 1.
Komentarz
Rozwiązanie
Skoro twierdzenie dotyczy liczb naturalnych, więc udowodnimy je metodą indukcji matematycznej. | |
Sprawdzimy słuszność twierdzenia dla nQ= 0. |
11 I26 0 + ,+ 90+‘ |
11 l2' + 9' 11111 | |
Formułujemy implikację. |
Założenie: 11 l 2** ł 1 + 9* ł 1 dla k ^ o * Teza: 11 1 2** + 7 -+- 9* + 2 |
Przeprowadzimy dowód implikacji. |
11 1 2®* + 7 + 9* + 2 11 l 2(<ł* + + 0 -*- » 11 1 2“ * ' 2* + 9* + ' • 9 11 1 2**+ '-64 + 9* * (64 - 55) 11 1 2** + 1 - 64 + 9* + 1 • 64 - 9* + 1 - 55 11 1 64 ( 2** + 1 -ł- 9* + 1) — 55 - 9* + 1 |
11 1 64 (2“ + 1 + 9* + 1) - 11 - 5 9* + ' | |
11 1 64 ^2** + 1 + 9* + 1 j — z założenia indukcyjnego 11 1 11 - 5 • 9* + ', gdyż 11 jest jednym z czynników iloczynu, zatem 11 1 64 f 2M + ' + 9* ł ^ — 11 -5*9**' — różnica liczb podziel nych przez 11. | |
Formułujemy uzasadnienie. |
Na mocy 1. i 2. twierdzenie 11 1 2*" 1 + 9" * 1 jest |
prawdziwe dla każdej liczby naturalnej rt. |
Ile można znaleźć kwadratów na poniższych rysunkach?
Bez trudu można policzyć, że na pierwszym rysunku jest ich 5, a na drugim 14, a na trzecim rysunku?
Jeśli duży kwadrat podzielilibyśmy tak. żeby każdy bok kwadratu byl podzielony np. na S równych części, policzenie wszystkich kwadratów nie byłoby już takie łatwe.
Poniższy wzór pozwala właśnie na obliczenie, ile kwadratów jest na danym rysunku, przy czym « to liczba oznaczająca, na ile części został podzielony każdy bok kwudrutu.