015

Indukcja matematyczna

ZADANIE 5

Udowodnij, że

_A ,,    , n (n + 1) (2n + 1)

A l² + 2² + 3² + ... + ;r = —--r--

he\    6

Dowód:

Pierwszy krok indukcyjny (sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla początkowej liczby naturalnej).

Oznaczamy lewą stronę równania przez L, a prawą stronę przez P.

Niech « = 1, wtedy L = 1² = 1

1-(1 + 1) (2-1 + 1) 2-3 6 6 6 6

czyli L = P

Drugi krok indukcyjny (sprawdzamy, czy jeśli równość jest prawdziwa dla n, to czy jest też prawdziwa dla następnej liczby naturalnej, czyli n + 1).

L = 1^: + 2² + 3² + . . . + IV + (n + l)² = Tworzymy sumę dla n + 1 wyrazów.

■ + (/;+ 1 )² = o

_ n(n + 1)(2« + 1) , 6(n + 1)^: _ 6 6^

Zastępujemy 1^J + ... + rf wyrażeniem

n(r? + 1)(2« + 1)

6

Sprowadzamy do wspólnego mianownika.

_ n (n + I) (2n + 1)

Zapisuję na wspólnej kresce Wykonuję zaznaczone działania Korzystam ze wzoru

(a + b)¹ = ^ + lab + If

Redukuję wyrazy podobne.

n(n + 1 )(2 n + 1) + 6 (n + 1)^: _

6

n (2if + n + 2n + 1) + 6(«² + 2n +1) 2 n³ + n² + 2 n² + n + 6 n¹ + 12n + 6 2n^} + 9ir + 13« + 6

15