5167288139

7.    Udowodnić, że istnieje liczba postaci 333333^833338n, gdzie n jest liczbą naturalną, zakończona 333333³³³³³⁸ trójkami w zapisie dziesiętnym.

8.    Wielomiany W i V nazywamy względnie pierwszymi jeśli nie istnieje wielomian U stopnia dodatniego taki, że U\W i U\V. Niech P, Q i R będą względnie pierwszymi wielomianami stopnia dodatniego. Udowodnić, że jeżeli zachodzi

(^fW)”+ (<3W)" = (^R(^x))"<

to n < 2.

9. <Si, S2,..., ć>2008    podzbiorami zbioru {1,2,..., 2008}, z których każdy ma parzystą liczbę elementów. Dowieść, że dla pewnych liczb 1 < i < j < 2008 zbiór Si fi Sj również ma parzystą liczbę elementów.

10.    W nierównoramiennym trójkącie ABC punkty M_a, M&, M_c oznaczają odpowiednio środki boków BC, CA, AB. Punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a punkty A', B', C' są punktami styczności tego okręgu odpowiednio z bokami BC, CA, AB. Prosta k jest prostą symetryczną do prostej BC względem prostej Al, a prosta l jest prostą prostopadła do prostej IM_a i przechodzącą przez punkt A'. X_a jest punktem przecięcia prostych k i l, a punkty Xb i X_c definiujemy analogicznie. Wykazać, że punkty X_a,Xb,X_c leżą na jednej prostej, która jest styczna do okręgu wpisanego w trójkąt ABC.

11.    Udowodnić, że dla dodatnich liczb a, b, c zachodzi nierówność

12.    Na płaszczyźnie dany jest n-kąt wypukły P. Trójkąt utworzony z trzech różnych wierzchołków P nazywamy dobrym jeśli wszystkie jego boki mają długość 1. Dowieść, że jest nie więcej niż |n dobrych trójkątów.

13.    Ciąg (e_n) definiujemy tak: e\ = 1, e2 = 2, a e_n+i jest najmniejszą liczbą, która jeszcze nie wystąpiła w ciągu i NWD(e_n, e_n+i) > 1. Udowodnić, że dla każdej odpowiednio dużej liczby pierwszej p pierwszym wyrazem ciągu (e_n) podzielnym przez p jest wyraz 2p.

18