str024

92.    Najpierw udowodnimy, że A = Fo U B, gdzie Fo jest zbiorem typu F₀, a n[B) = 0. Korzystając z definicji miary Lebesgue’a otrzymujemy, że dla dowolnego £ > 0 istnieje zbiór otwarty G taki, że A C G i /i(G — .4) < s, a stąd wynika, że istnieje zbiór domknięty F taki, że F C A i A — F) < £. Zatem dla dowolnego n € N istnieje zbiór F_n domknięty F„ C A i taki, że fi(A - F_n) < Połóżmy Fo = U“. ^F'>,B = A - F₀. Wówczas A = F₀ U B i #r(B) = 0. Oczywiście F₀ jest zbiorem borelowskim jako zbiór typu F„. Na podstawie zadania 16 istnieje zbiór borelowski C typu G< taki, że B C C i n{C) = 0, Na podstawie zadania 51 fi = £| B.

93.    Wskazówka: na podstawie rozwiązania zadania 92, A = Un°=i F_n U Bi, gdzie F„ zbiory domknięte, a ft(Bi) = 0. Aby uzyskać żądany wzór wystarczy skorzystać z twierdzenia: niech F będzie nieprzeliczalnym domkniętym podzbiorem

wtedy F = D U G, gdzie D jest zbiorem doskonałym, a C jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym.

94.    Niech {s_n}neH będzie takim ciągiem liczb dodatnich, że Xj”_=l2ⁿs_n < 1-Usuńmy z przedziału [0,1] przedział otwarty o środku w punkcie 5 i długości sj. Lewy z dwu otrzymanych w ten sposób przedziałów oznaczmy przez Po, a prawy

przez P\. Załóżmy, że zostały już zdefiniowane przedziały domknięte P_a, , gdzie

{oj,...,a_n} jest dowolnym ciągiem złożonym z liczb 0 i 1. Usuwając z przedziału P_ai....._.. przedział otwarty o środku w środku przedziału P_a,.....

i długości s_n+i, otrzymujemy dwa przedziały domknięte, z których lewy oznaczamy

prwz Pa,.....a.,o, a prawy przez F_0l,..,,_a„i. Niech Rn = [_)(„,.....Po,.....

C = n“i ^Fn' N*^ecb a = 1 — ]Cr=i2"^sn, 0 < a < 1. Powyżej skonstruowany zbiór C posiada własności żądane .^zadaniu 94. Bezpośrednio z określenia widać, że C jest niepustym zbiorem domkniętym 6 mierze a. W przypadku gdy s„ = (|) , otrzymujemy zbiór Cantora. W ogólnym przypadku, doskonałości i nigdziegęstości zbioru C dowodzimy tak jak w prz/padku zbioru Cantora.

95.    Jeżeli a = 1, to zbiór [0,1] — C jest zbiorem otwartym o mierze zero, więc zbiorem pustym. Otrzymaliśmy więc sprzeczność, że [0,1] jest zbiorem nigdzie gęstym. Zatem nie można skonstruować zbioru o własnościach wymienionych w zadaniu 95.

96.    W zbiorze [0,1] jest zawarty zbiór Cantora C. Konstrukcja zbioru Cantora została podana w zadaniu 94, gdzie s„ = (5)" dla n£łl. Jak wiadomo /i(C) = 0 i card(C) = <Z. Moc rodziny wszystkich podzbiorów zbioru C wynosi zatem 2^£, każdy z nich jest mierzalny, ponieważ miara Lebesgue’a jest zupełna. Ponieważ moc wszystkich podzbiorów zbioru [0,1] jest równa 2^e, zatem moc wszystkich mierzalnych podzbiorów [0,1] wynosi 2^£.

97.    Wskazówka: niech C'i będzie zbiorem skonstruowanym w zadaniu 94, gdzie /r(Gi) = (5)". Na każdej składowej F„ zbioru [0,1] — C\ budujemy tak jak w zadaniu 94 zbiór Cń²⁾ taki, że (UnLi C"²⁾) = (s)³- Postępując analogicznie uzyskamy zbiory Ci³⁾ takie, że _M(U”=i G«^3>) = (5)* ^itd- Niech -* = CtUU”=i U”₃ Ci⁰.

98.    Niech {£/„}„£» będzie ciągiem wszystkich przedziałów otwartych o końcach

wymiernych. Określmy w sposób indukcyjny ciąg rozłącznych nigdzie gęstych zbio-tów    takich, że /r(A_n) > 0 i A_3n U A₃„_i C U„ dla n e PI. W zadaniu

94 przy konstrukcji zbioru C przedział [0,1] można zastąpić dowolnym przedziałem.

Zatem istnieje zbiór nigdzie gęsty Ai taki, że Ai C U i i    > 0. Ponieważ zbiór

.4i jest nigdzie gęsty, więc istnieje przedział (o,6) C U\ taki, że (o,6)flAi = 0. Korzystając z zadania 94, konstruujemy zbiór Aj C (a,i») nigdzie gęsty taki, że /Aj) > 0. Oczywiście U.4.2 C V\. Przypuśćmy, że został już określony ciąg zbiorów nigdzie gęstych miary dodatniej Ai, Aj,... , Aj_n takich, że Aj* U .42t—1 C Uk

oraz AiDAk =0, i £ k, i,k £ {1.....2n}. Ponieważ U,³^ A,- jest zbiorem

nigdzie gęstym, więc istnieje przedział (c,d) C U_n+1 taki, że (c,d) n A< = 0. Istnieje zbiór nigdzie gęsty .42_n+i C (c,d), którego miara jest dodatnia. A zatem Ajn+t C Un+i i Ajn+I O (J,²=i Aj = 0. Ponieważ zbiór Ajn+i jest nigdzie gęsty, więc istnieje przedział (e,/) Ć (c,d) taki, że (e,/) n.4_2n+i = 0. Następnie istnieje zbiór nigdzie gęsty miary dodatniej Ajn+2 C («,/). Oczywiście A_2n+2 C U_n+1 i Ajn+2 OUj^¹ A,- = 0. Niech .4 = Un°=i Niech (a,b) będzie dowolnym przedziałem. Istnieje taka liczba k £ FI, że Uk C (a, fc). Z drugiej strony, Au c Uk i /AjO > 0. Zatem /i(A O (a, b)) > p(Aj*) > 0.

Analogicznie można wykazać, że dla dowolnego przedziału (a, b)

n{(a,b)0(R-A)} > 0.

99.    Niech T₀(B) = B + a. Na podstawie definicji 15

C = f_a(B) = T_a(Bn[0, l-o))ur_a_i(Bn(l-a, 1)).

Oznaczmy C1 = T_a(B n[0, 1 - a)), Si = B D [0, 1 - a), C₃ = T„_i(Sn[l - a, 1)), Bj = B fi [1 - a, 1). Na podstawie zadania 33 mamy

/(B) = fi*{Bn([0, 1 - o) U [1-a, 1))}

= /i*{B O[0, l-a)} + /{Bn[l-a, 1)} =/(BO+/(B;).

Z definicji miary zewnętrznej Lebesgue’a wynika, że /(BO = /(CO > /(B₂) = /(C2), a zatem

/(B) = /(CO + /(Cj) = / {Ci 0[a, 1)} + /{Cj n(0,o)}

= /(C),

gdzie ponownie korzystamy z zadania 33.

100.    Niech / będzie miarą zewnętrzną. Załóżmy, że zbiór B jest mierzalny. Niech Z będzie dowolnym podzbiorem zbioru [0,1). Zauważmy, że

r„(ft _„(Z)) = z,

f.(fi__a(Z)nB) = znf_a(B),

f,(fi_₀(Z)n([o,i)-B)) = znf.((o,i)-B),

f.([0,l)-B) = [0.1)-f.(B).

Mamy zatem równość

/{?1_₀(Z)} = / (fi_₀(Z) n s) + / {f_t__a(Z) n ([o, i) - B)}.