3 (1972)

4-1. Ciągi liczbowe i ich granice 57

Przykład 4.7. Udowodnimy, że ciąg ^ZL^r~ jest zbieżny do 1. Trzeba wykazać następujący warunek:

4-1. Ciągi liczbowe i ich granice 57

V_£>0 3/ifgR Vn>M

77/-1

1 < £.

Weźmy dowolne £ > 0, wtedy dla n £ N mamy:

(4.2)

n²-\

— 1 < £

nr—l—n*

< £

Przyjmijmy M — Jeśli n > M = -^=, wtedy, wykorzystując wzór (4.2),

mamy:

n²-1

- 1

< £, czyli zbieżność została wykazana.

Przykład 4.8. Wykażemy, że lim j- = —2. Mamy udowodnić, że

r>-^ rio 71    71

V_e>o V_n>yv/    l^p—4+2|<e.

Weźmy dowolne £ > 0. Dla n dostatecznie dużego mamy:

2n³ —l+2n—2n³ n—n³

|2n—1|

2 n

2^4 + 2

n — ^rn

Nierówność 4j < £ jest równoważna -^ < n. Bierzemy M = Wtedy . Żądana zbieżność została wykazana.

Przykład 4.9. Ciąg (—l)ⁿ nie jest zbieżny. Oznacza to, że żadna liczba rzeczywista a nie jest granicą tego ciągu. Rozważmy dwa przypadki, pierwszy, że a / 1 nie może być granicą ciągu (—l)ⁿ. W tym celu należy pokazać warunek:

3_e>o Vmgir 4>m    |(-l)ⁿ - a| ^ e.

Niech £ = 4|l“^al>^i niech M będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Weźmy n liczbę parzystą większą od M (taka liczba zawsze istnieje). Wtedy:

|(— l)ⁿ — a\ = |1 — a\ > ^|1 — a\ = £, a więc warunek został pokazany.

Rozważmy teraz drugi przypadek, gdy a — 1. Niech wtedy £ — ^, a M będzie dowolne. Weźmy n liczbę nieparzystą większą od M. Wówczas |(-l)ⁿ — a| = | — 1 — 1| = 2 > 5 = £. Stąd liczba a = 1 także nie może być granicą ciągu (— l)ⁿ.