7 (1298)

{A. Ciągi liczbowe i ich granice 61

Przykład 4.17. Obliczmy lim (S^n¹ + n² + 1 — y/n¹ — n² + 1). Korzystając ze wzoru a - b =    , otrzymujemy:

lim (\/ri¹ + n² + 1 - y/n¹ — n² + 1) =

t—>00

= lim

n—>o

lim

n—>o

= lim

n¹ + n² + 1 — (n¹ — n² + 1)

^n_ł0°    (n¹ + n² + l)² + y/n¹ + n² + 1 • S/ór¹ — n² + 1 4- y/(n¹ — n² 4- l)²

2 n²

1

Twierdzenie 4.21 (o trzech ciągach). Niech będą dane trzy ciągi (a_n)^_1;

(cnj^j takie, że a_n ^ b_n ^ c_n dla dowolnego n G N. Załóżmy, że lim a_n = lim Cn — g. Wtedy ciąg (6_n)?Li jest zbieżny, a lim b_n — q.

n-*oc    n—»oo    ‘    ‘    n—» oo

2

Twierdzenie 4.20. Jeśli lim a_n — a G R oraz a_n b, to a ^ b.

71—> OC

Ważne w zastosowaniach będzie: