1935182606

17

0.3. CIĄGI LICZBOWE

Twierdzenie 0.3.7 (O arytmetyce granic) Niech ciągi (a_n)^₌₁ (b„)^₌₁ będą ciągami zbieżnymi, wówczas mamy:

1. lim (a„ + b_n) = lim a_n + lim b_n

2. lim (a„ — b_n) = lim a_n — lim b_n

3.    lim (a_nb_n) = lim a„ lim b_n

lim a_n

4- Jeśli b_n 7^ 0 dla n G N oraz lim b_n ^ 0, to lim ^

5. Jeśli a_n> 0 dla n € N to lim a*ⁿ = (lim a„) ⁿ'" “^b"^.

Dowod. Wykażemy dla przykładu prawdziwość (3) i (5). Wiemy, że ciąg a_n jest zbieżny, więc jest ograniczony: istnieje M > 0 n € N to |a_n| < M i b„ < M. Wybierzmy dowolne e > 0, więc istnieje no € N, że jeśli n> to

Stąd mamy

\a_nb_n — ab\ < \a_nb_n — a_nb\ + |a„6 — ab\ = |a_n||6_n — 6| + \On — a||&| <    M = e,

co kończy dowód punktu (3).

Pokażemy w dowodzie (5), że lim c^b" = cⁿ-*°° ⁿ dla dowolnego c > 0. Zauważmy, że

Jim c¹" = Jim    = c‘jim c^K-ⁱ = c-™"'Jim

Oczywiście lim (b_n — b) — 0. Pokażemy, że jeśli lim d_n — 0 to lim d** = 1. Możemy założyć wpierw, że O 1. Niech 6 > 0, wtedy istnieje no € N, że jeśli n > no to

1 < c"o <H-e, oraz IrfJ < —, n₀

< cⁿo <l + e

lim b_n

1

1+e

Jeśli c € (0,1) to - > 1 i wtedy

mamy więc lim ć^l" = 1 a stąd mamy lim c^b" =

(7)⁶"

lim c^bn = lim