MATEMATYKA045

82 D. Ciągi i szeregi liczbowe

TWIERDZENIE 2.5 Jeżeli szereg Xl^aJ jest zbieżny, to szereg Va„ jest również zbieżny.

Z twierdzenia tego wynika na przykład, że

a) Szereg Z(-"^!    _?    V"

jest zbieżny, gdyż zbieżny jest szereg

«r.    2(ł'n-l) 1 ,    1

Ii(-D^:    -rl-i-r-

n*i    n n=i n

b) Szereg X

cosn

cosn|

jest zbieżny, gdyż zbieżny jest szereg X n!    '    n!

(Zbieżność lego ostatniego szeregu wynika 7. kryl porównawczego, nierówności

|cosn|

ii

£ •—, n = 1,2.... oraz zbieżności szeregu Y - ). n! n!    ^ nf

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia 2.5 jest fałszywe, gdyż np. szereg X("l)ⁿ “ jest zbieżny, a szereg Xl(^-I)^B~| ⁵⁶X” jest rozbieżny.

Z przykładów ty ch wynika, że w przypadku gdy szereg Xa_a jest zbieżny, szereg XJaJ może być zbieżny lub rozbieżny. Przyjmijmy następuj ące ok reślen i a:

Jeżeli szereg Xa_l5 jest zbieżny i jednocześnie szereg Xl^aJ J^cst zbieżny, to mówimy, że szereg X^a„ jest bezwzględnie zbieżny.

Jeżeli szereg X^an J^csl zbieżny, ale szereg X.^:aJ jest rozbieżny, to mówimy , że szereg X^a„ jest warunkowo zbieżny

Zatem, uwzględniając tw. 2.5, możemy stwierdzić, że:

Jeżeli szereg Xi^aJ.M⁷ zbieżny, to szereg X^an j^esl bezwzględnie

zbieżny.

Tak więc, szeregi    LH)ⁿ~.    są bezwzglę-

n"    n-!

dnie zbieżne, gdyż szeregi X    X—ⁿⁿ'są zbieżne Natomiast

n 5" n!

szeregi XH)ⁿ-¹,    X(“Oⁿsin — są warunkowo zbieżne,

n    Inn    n

gdyż są one zbieżne (km. Leibniza), ale szeregi    £sin ¹ są

n Inn n

rozbieżne (rozbieżność drugiego i trzeciego z tych szeregów wynika łatwo / kryt porównawczego i nierówności lnn<n oraz sin(I/n) > l/2n).

Oczywistym jest, że każdy szereg zbieżny o wyrazach nicujcmnych |ost bezwzględnie zbieżny. Łatwo również wywnioskować, że każdy szereg zbieżny o wyrazach ujemnych jest także bezwzględnie zbieżny.

nego I(-l)

PRZYKŁAD 2.9 Zbadamy zbieżność szeregu naprzcmicn-_n n + (~1)ⁿ

n'

Nietrudno sprawdzić, że

I) lima. = lim

n+(-l)ⁿ

= 0,

2) ciąg (a_n) nic jest ciągiem malejącym, gdyż a_nłl a_n <0 dla n parzystych oraz a_n.,-a_n>0 dla n nieparzystych. Zatem kryterium I eibniza nie rozstrzyga o zbieżności lego szeregu. Ponieważ jednak

|a_r,l=

(-1)’

n+(-l y

n+l 2n 2    „    ..

<——    dla neN

__ •> _ 1 n n n

i szereg £2/n^: J^esl zbieżny, więc badany szereg naprzemienny jest bezwzględnie zbieżny.    ■

KRYTERIUM PORÓWNAWCZE (dla szeregów o wyrazach dowolnych). Jeżeli |aj£b„ dla każdego neN oraz szereg Lb_n jest zbieżny, to szereg £a„ jest bezwzględnie zbieżny.

KRYTERIUM CAUCHY'EGO (dla szeregów o wyrazach dowolnych) Załóżmy, że dla szeregu £a„ istnieje skończona lub nieskończona granica

limq/iaj = g.

«-♦«

Wówczas:

(1) Jeżeli g < I, to szereg £a_n jest bezwzględnie zbieżny.

(2) Jeżeli g > I, to szereg £a_n jest rozbieżny.