MATEMATYKA035

m.

62

U Ciągi i szeregi liczbowe

Z tej ostatniej nierówności i twierdzenia o granicy trzech ciągów wynika, źc lim a_n = 0. Zatem

n no

lim ^r<fi\ = lim(l + a_n) = 1.    L'

n-»*«    n-ow

LICZBA c. Rozważmy ciąg liczbowy o wyrazie ogólnym

a„=^(| ₊ ir.

Napiszmy kilka pierwszych wyrazów lego ciągu

2,(|)²,(j)⁵.(|)⁴.(|)⁵.-

oraz ich przybliżenia dziesiętne

2; 2,25; 2,36, 2,44, 2,48;....

Można wykazać, że dla każdego n naturalnego mamy 2<a_n<3 oraz a_n<a_n+ł.

Ciąg (a_n) jest więc ograniczony i rosnący, a zatem jest zbieżny (tw 1.4).

Granicę tego ciągu oznaczamy literą e , czyli

1

c = lim(l-f-) .

n-»>r n

Można udowodnić, żc c jest liczbą niewymierną, przy czym

c = 2,718281...*2,72 .

Niech a_n *0, n eN. Wykazuje się wiedy, że

lim a„ = ±oo => lim(l + 7-)^an =c.

n-»«f    n

Logarylm o podstawie równej e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy symbolem ln :

log_c xs lnx

TWIERDZENIE 1.8 Jeżeli lima„=a i lim b„ = +oc, to (1) lim(a_n±b_n) = ±oo,

63

(2) lim(a„'b_B) =

n-><»

U00, gdy a>0 {-oo, gdy a<0,

(3) lim --*¹- = 0 , gdy b_n * 0 dla każdego n eN.

n «b„

TWIERDZENIE 1.9 Jeżeli lim a„ = +x i lim b_n = +oo, to

!»-♦»    n-w

(1)    hm(a_n +b_n)= *»,

(2)    lim(a„ -b„) = +cc.

n fO

TWIERDZENIE 1.10 Niech a„*0, neN. Wówczas

(lima„ = 0 a V A a„>0) => lim —=+oo. n-^r.    _{K n>K}    n-»«a_n

Twierdzenia 1.8 - 1.10 i analogiczne do nich możemy zapisać w sposób umowny za pomocą równości:

a ±oo = ±oo, ±oo±oo = ±x

a(±oo) = ±x dla a>0, a(±oc)=-Tco dla a<0,

(± »)(+«>) = + cc, _a_    J__    J__

(±®)fT») = -oo, ±oc ’    0+    ’    0- ~ °°¹

SYMBOLE NIEOZNACZONE. Iloraz &) nazywamy sym holem nieoznaczonym typu ~ , gdy lima**±» i limb. = ±oo.

oc    n »u>    n-K*

Na przykład ciągi

3n +1 n^a-l

-n

). (rr)

2 -n    3ir są symbolami nieoznaczonymi t>-pu —. Zauważmy, że każdy z tych ciągów ma inną granicę:

-n

3n + l „ n²-1