MATEMATYKA046

84 II. Ciągi i szeregi liczbowv

KRYTERIUM DALEMBERTA (dla szeregów o wyrazach dowolnych). Załóżmy, że dla szeregu £a_n o wyrazach różnych od zera istnieje skończona lub nieskończona granica

lim    g.

Wówczas:

(1) Jeżeli g < 1, to szereg £a_n jest bezwzględnie zbieżny.

(2) Jeżeli g > I, to szereg £a_n jest rozbieżny

PRZYK L A D 2.10 Zbadamy zbieżność szeregów:

a) £(-l>²

n(n+l) n3"

b>

a) Stosujemy kryterium Cauchy'ego dla szeregów o wyrazach dowolnych. Ponieważ więc rozważany szereg jest bezwzględnie zbieżny.

b) Stosujemy kryterium dAlemberta dla szeregów o wyrazach dowolnych Ponieważ

lim (iii)" = e > I

n-*«> m ł ljin

nn-»

więc badany szereg jest rozbieżny.    ■

ŁĄCZNOŚĆ I PRZKMIENNOŚĆ SZEREGÓW Znane dla

sumy skończonej liczby składników prawa przctnicnności i łączności nic przenoszą się bez dodatkowych założeń na szeregi Problem ten ilustrują następujące twierdzenia i przykłady.

TWIERDZENIE 2.6 Jeżeli szereg £a„ jest zbieżny i ma sumę równą S, to szereg otrzymany z niego przez wstawienie dowolnej liczby naw iasów jest również zbieżny i ma sumę rówmą S.

liii    ¹⁰ (-1 t”*¹

Na przykład szare# i —V+——ł*■V!¹—'— jest zbieżny (geom . ² 2² 2* 2⁴    _n~ 2"

q«-|) i IW sumę S-y. Zatem szereg (^^')+(4—£-~

Ł i Ł    naP

otrzymany z poprzedniego przez wstawienie nawiasów jest równie* zbieżny (geom

0    ilo.azie q «1/4 ) i mn tę tamą sumę S »1/3.

Uwaga 1. Jeżeli s/creg jest zbieżny, (o przez pominięcie łub przestawienie nawiasów można otrzymać szereg zbieżny o innej sumie lub szereg rozbieżny

Na przykład przez przestawienie nawiasów w szeregu (l-rl)+(1-1 )*•■•*() możemy otrzymać s/crcg zbieżny o innej sumie

l+(-l+ !)+(■1 + !>+'•• a 1 + 0+ (>+■■•= I

lub szereg rozbieżny

(l-l + l)+(-l + I-lH- a l- i +■ i— * J(-y .

ri^O

U w^r a g a 2. Jeżeli szereg jest rozbieżny, to przez wstawienie nawiasów możemy otrzymać szereg zbieżny.

Na przykład przez wstawienie nawiasów w szeregu rozbieżnym

a-l+1-1 + 1---

n=l

możemy otrzymać szereg zbieżny:    -1 + (1 -1) (I -1)+- ■ • = -1.

TWIERDZENIE 2.7 Jeżeli szereg jest bezwzględnie zbieżny

1    ma sumę S, to szereg powstały z niego przez dowolną zmianę kolejności wyrazów jest zbieztty i ma sumę S.

U *.v a j a 3 . Wykazuje się, 7fi w dowolnym izeregu warunkowo zbieżnym można zmienić kolejność wynt/ów w ten sposób, by otr/ytaany szęręg b)i rozbieżny lub leż. • by otrzymany szereg był zbieżny i mini z góry "zaphiu w.uui" przez nas sumę

MNOŻENIE SZEREGÓW Iloczyn dwu siup o skończonej

liczbie składników

(aj +a2+*^,*+a^ )(b| +l)2+---+b_m)

jest sumą k m iloczynów postaci ajb,. i * 1,2,....k. j= 1,2.....in .

Iloczyn dwu szeregów zapisujemy symbolicznie

Xbj+b2+*‘* ).