MATEMATYKA040

72 II. Ciągi i szeregi liczbowe 2 Szeregi liczbowe 73

72 II. Ciągi i szeregi liczbowe 2 Szeregi liczbowe 73

n=l

n*l

-jn(n + l) = 1, więc

n|U(n + l) 1

J__I_ J[

1-2 2-3 3*

n(n + l)

n(n + l)

Z przyjętych definicji zbieżności i rozbieżności szeregu oraz sumy szeregu wynikają łatwo następujące twierdzenia.

TWIERDZENIE 2 I Szeregi

<K>

y>n oraz £ka,„ k*0

n»l    n I

są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne. przv czym: jeśli szereg

co    _w

IX jest zbieżny i ma sumę S, to szereg£ka_n jest zbieżny i ma sumę

•»*'    n=l

równą kS.

TWIERDZENIE 2.2 Szeregi różniące się skończoną liczbą

wyrazów są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne, przy czym

<*>

jeżeli szereg £a_n jest zbieżny i ma sumę S, to szereg powstały przez

n=l

dołączenie (odrzucenie) skończonej liczby wyrazów, których suma jest równa A, jest zbieżny i ma sumę równą S+A (S-A).

TWIERDZENIE 2.3 Jeżeli szeregi £a_r i £b_n są zbieżne i ich

sumy są odpowiednio równe A i B. to szereg £(a_n ±b_n) jest zbieżny

n=l

i jego suma jest równa A ± B

co I

Na przykład 1) Ze zbieżności szeregu Y——~ (przykład 2.2)

Sn(n + I) ^{K J}

oraz z twierdzeń 2.1, 2.2 wynika zbieżność szeregów

y—!— ysL.

n(n + l)’ ^n(n+l) *

w

a ponieważ £

n I ir>

Z

11=1

»> i , i

2)    Ze zbieżności szeregów £— i Y. — oraz z twierdzenia 2.3

o=i3 iv«i2 n> J J

wynika zbieżność szeregu £(—+—). Czytelnikowi pozostawiamy

n I 3    2

obliczenie sum tych szeregów'

•*> i

3)    Z rozbieżności szeregu £— i twierdzeń 2.1, 2.2 wynika roz-

n*l ⁿ

bieżność szeregów

U w a g a. L twierdzenia 2.2 wynika, Ze skończona liczba wyrazów nie ma wpływu na zbieżność (rozbieżność) szeregu, a jedynie zmienia sumę lego szeregu, gdy szereg jest zbieżny. Dlatego przy badaniu jedynie zbieżności szeregu (bez szukania sumy lego szeregu) będziemy używać krótszego symbolu:

X)

IX zamiast £a_n •

n=l

WARUNEK KONIECZNY ZBIEŻNOŚCI SZEREGU TWIERDZENIE 2.4 Jeżeli szereg jest zbieżny, to ciąg jego wyrazów jest zbieżny do zera, czyli

szereg 5X jest zbieżny => lima.=0.

U >rc

D o w ó d Niech S oznacza sumę tego szeregu Z założenia wynika, że ciąg (S_n), jak również ciąg (S_n_,), n = 2,3... są zbieżne, przy czym lim S_n = lim S_n_, = S

n-Kfi    (!-*«■•

Stąd

(1)    lim(S.-S..,) = 0 Obliczamy

(2)    S,-S^_l=(a₁+-+a„)-(8₁+-+a„.,) = a„, dla ns2

Zatem z (I) i (2) wynika, żc lim a., = 0    U

n~*yj

Twierdzenie to można sformułować w postaci:

Zbieżność do zera ciągu (a_n) jest warunkiem koniecznym zbieżności szeregu £a_n .