50404 MATEMATYKA043

78 II. Ciągi i szeregi liczbowe 2. Szeregi liczbowe 79

78 II. Ciągi i szeregi liczbowe 2. Szeregi liczbowe 79

1

2n³ +1    2n' + n³ 3n

1

-<sinx<x dla x e(0,~). 2 2

i . i

neN.

2 »

a)    Dla wy razów tego szeregu stopień mianownika jest o 2 większy od stopnia licznika. Wykażemy, żc szereg ten jest zbieżny. W tym celu oszacujemy wyrazy badanego szeregu w następujący sposób:

n 3n + l ^ 4n 2 °c-    T ^{d,a neN}

2n^ł + 1 2n

o

Szereg 21 “T» jako harmoniczny rzędu a - 2, jest zbieżny, wiec z krv-n"

terium porównawczego wynika , żc badany szereg jest również zbieżny.

b)    Stopień mianownika jest o I większy' od stopnia licznika Wykażemy, że szereg ten jest rozbieżny. Z nierówności >0 dla neN,

rozbieżności szeregu    i z kryterium porównawczego wynika, żc

badany szereg jest również rozbieżny. Ponieważ wyrazy tego szeregu są

J

«>

dodatnie, więc £—-— = +oo.    ■

n • 12 n +1

PRZYKŁAD 2.5 Zbadamy zbieżność szeregów:

a) 2^-sin—,    _b)yM«±2]

n    3n -n

Stosujemy kry terium porównawcze.

a) Dla funkcji sin prawdziwe są nierówności sinx^I dla xeR,

Korzystając z drugiej nierówności otrzymujemy

0 < — sin — <— n n n

Szereg    jako harmoniczny rzędu a = 2, jest zbieżny, więc z

kry terium porównawczego wynika, że badany szereg jest również zbieżny.

b) Dla funkcji In prawdziwe są nierówności 0< In x < x dla x > I

i ogólniej

0 < ln x = -Mn x^a < x^a dlax>l,a>0. a a

Z pierwszej nierówności mamy: 0<ln(n +l)<n +1, a stąd

_ ln(n + l) n + l 2n 1 o<—^•

3n -n 3n^ł-n 2n n

K/creg jest zbieżny (szereg harmoniczny rzędu a = 2), więc z kry-n‘

li i lum porównawczego wynika, że badany szereg jest również zbieżny ■ PRZYKŁAD 2.6 Zbadamy zbieżność szeregów

^a)Z^- ^b)S7jT- ^c>Z₂”+5" •

a)    Zastosujmy kryterium d‘Alcmberta. Ponieważ

lim ^ = lim -j—r. = Hm-77 = °< I. n-»« a_n n>'-o(n+l)! 2 n-W>n+l

więc badany szereg jest zbieżny.

b)    Ponieważ

lim= lim    4 = liinf=e>l,

_n-./> a_n n (n + l)! n    n )

więc z kryterium d AIcmbcrta wynika, że badany szereg jest rozbieżny. Stąd i z warunku a_n > 0 wynika, że ten szereg jest rozbieżny do +oo.

c)    Zastosujmy kryterium Cauchyćgo. Ponieważ

lim Ja^ = lim J—- —— = lim-⁼ 7 < ^

2 +5    "“** ^ J(-)ⁿ + 1 ^

więc badany szereg jest zbieżny.