19074 MATEMATYKA047

86 II Ciągi i szeregi liczbowe

W jaki sposób dokonywać mnożenia każdego składnika a, przez każdy składnik b₍ oraz jak porządkować iloczyny a,b,? Jeden ze sposobów porządkowania podaje następująca definicja

W)    «l

Iloczynem Cauchy'ego dwóch szeregów Va_n i £b_n nazywamy

n»l    na)    s

w

szereg £c_n taki, żc

n*2

^cn=a.b„.i+a_:b„._J+---+a„_:bj+a„ ,b, dla n = 2,3,...

Każdy wyraz c_n jest sumą n -1 składników, z których każdy jest iloczynem tych a_t oraz b,. których suma wskaźników jest równa n: c₂ = a_tb,

Cj = a,b₂ + a,b, c₄ = a,b _i + a,b₂ + a^b,

«

TWIERDZENIE 2.8 Jeżeli szeregi £a_n i £b_n są bezwzględnie

n=l    n~l

zbieżne i ich sumy są odpowiednio równe A i B, to szereg £c_n będący

n 2

iloczynem Cauchy*cgo tych szeregów jest bezwzględnie zbieżny i jego suma jest równa AB

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

1. Obliczyć n-tą sumę częściową szeregów:

«>i(j)-. n»l -	wgj)-.
n*-l	e>£(-l)"n, n 1	y ^2n + ! Tl n^J(n + l)^J
Znaleźć, o ile istnieją, sumy szeregów z zadania 1.

3. Korzystając z warunku koniecznego zbieżności szeregów wykazać rozbieżność szeregów:

v 2n* +1 ^a) 2-n(n + l)'	^b>lO"’	c) £cos^,
^Z^i-	c) £<-l)"nlgi	n£( »*;
4. Znaleźć, o ile istnieją, sumy szeregów:
n 1 -^1	M V<-2)" ^ żL -jn-l * nfl ^J	^c) I 4^n-i • n«0 ^H
d)j>2"'.	n-= 1 ^Ł	0 f]3(-2)*“ n=l

V Stosując kryterium Cauchyego zbadać zbieżność szeregów:

d) ^3n(|)^J'’^1,,^c) p<jr^!, o X_n^7²^"

6. Stosując kryterium d’Aiembcrta zbadać zbieżność szeregów:

5ⁿVn + l <(

tⁿ

^a»In>

l d> yM^!.

' L+OnW

»>L

^e)Z

(2n)! 3"n!

U Zif.

<t _{n v}(n!)²3"^łl * ' Lj Hm-hl

(2n)!’    5" ’    * ■' ^(2n+-l)!

1 Stosując kryterium porównawcze zbadać zbieżność szeregów:

. ^ 2n — I

^b>L

_2n + l 3n¹-2n ’

ln(n f I)

n^J + n

1

e) y-—......

^Z-ln(n^:f2)^t

h) I^cosi

^C)^4n^!+n 1

J)

^7^^arcsm7!T’ ^k)2>«?’

^ ^7ITlnVn-f2

* I *

_llVl 3