61111 MATEMATYKA048

KX U Ciągi i szeregi llczbow

8. Stosując kryterium Leibniza wykazać zbieżność szeregów

1    1    _ «-*. ...łł n + l

g) £ (“D" aresin~,    h) £ (-1)" *¹ arcctg n , i) V sin((n * ~)7t).

9. Zbadać, czy szereg jest bezwzględnie zbieżny, warunkowo zbieżny czy rozbieżny:

^a)Z^T^sinn’

nlcosn

,, n:cos

g)£(-l>'

«z

1

sin—,

n

ncos(l/n) ’

n + 1

.2 »

to(n+l)

n!

k)Z(-»

n*+I* n+i (n + 1)!

n'

sin 3"

^c)^7T₅’

oT](-i)“tg

»Tj-'r^r’

Dinr^l(S'

n + 1'

aresin

n

10. Zbadać zbieżność szeregów:

a)

W Z

>/2n + l -Vn

+ 1

«) 2>l) h> £<-»

k) 2c-l)'

'n

2«*i

771'

2P4-1 n2"

»n

(2n)! n!(n + l)!

c)£(-l)ⁿarccor-

0^5" smi.

n4

n *1

oK-.)”^. Wrjgi- W-riS}

o) Z

n+3

In(n² +2)

n -f n

»!■ "Sr

4n+5

“)Z

n

n+5

!)ⁿ+4n²’    ^M/^ln(n²+3n)

II. Wiadomo, te szereg £a_n o wyrazach dodatnich jest zbieżny. Co można powiedzieć o zbieżności szeregów:

a)£ —.    ^b>Z^a-> ')£>;

a

• 1

12. Znaleźć szereg (]T ~)~ oraz jego sumę.

n 1

13. Podać przykład szeregu: a) warunkowo zbieżnego, b) bezwzględnie zbieżnego.

14. Obliczyć granice ciągów o wyrazie ogólnym a„:

“1 _c)a - ("!>³ ,r ■ " ni*    "    (2n>!

I

lⁿ

n ^a)a" = ‘.’

i

łieźnv:

n³t^M

n f 3

^(~t~l)ⁿ „_v y«3"(i-t)^{n 1}    . t-> n i I

^ " ⁺ 3 ' ‘ ^ 2n-l ’    ^(1 *t)ⁿ(n*+2n)'

Odpowiedzi.

^{1 ł}*)^|-(?)ⁿ.    b)2 —(4-)"    c)l-(“2)ⁿ. <i)-rn(n + l), c)S

2n ^c'l. S

2n-l *-n.

(n+1)

2 '

01-