12451 MATEMATYKA051

94 11 Ciągi i szeregi liczbowe

c)    Stosujemy kryterium Cauchy’cgo i obliczamy

W=—„    ,    =    -    =j<1.

zatem badany szereg jest zbieżny (bezw zględnie).

d)    Stosujemy krytenum d'Alcmbcrta i obliczamy

.a.., , (n + l)!(^)^{Jn J}    3”    (n + l)2    .

hm — - |= lim--:--T^mr~~i = hm -—r—= oo> 1,

n-*« a_n o-*oo 3ⁿ'    n!(V2)"^{n n} 3

zatem badany szereg jest rozbieżny.    ■

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

I. Zapisać ciąg (a ) w postaci (a_B + ipj i obliczyć granicę tego ciągu

„i-r

» n + i .. n + i    n +

^{a a}”⁼ nTp ^b)a» ⁼ ^TT> ^c)a" = -

2.    Obliczyć najprostszym sposobem granicę ciągów z zadania 1.

3.    Obliczyć granicę ciągu (aj, gdy:

b) a_n =-+(-l)ⁿi, c)a_n ^e>^a°=0“-

a) a_n = -+(-!)”-, ⁿ n n

.    (-1)" +n^J

d) a_n=—5-

2    , i    2.......2n + i,>

in’ +3n

4. Korzystając z warunku koniecznego zbieżności szeregu, wykazać, że następujące szeregi są rozbieżne :

^a>I^-

“>2:0

n ₊ 2i    ^r‘    ²

3

n'nn

+in

i

5.    Znaleźć n-tą sumę częściową S szeregu £i^,n, obliczyć lim S_n. Czy

nl    ⁿ~*^x

ten szereg jest zbieżny?

6.    Zbadać zbieżność szeregów:

> * n

n + i

1 + i

n² - i

+i

7 Zbadać, czy szereg jest bezwzględnie zbieżny, warunkowo zbieżny czy rozbieżnv:

n"

^e) ^nKe-i)"*

i

b)Z(yc-ir^

^C) Z⁽3T4^ⁿ>

. _v ^ 1 — isin n

^h)2l^T_n-

n!

^C)^(in)ⁿ'

v^n!(^|

h y i'^ł~(~l)ⁿiⁿ

^ 2n² - n

Odpowiedzi

I. a)«_Ba*-^+i~rc> a-¹.

n* -1 . 2n b)a_n= —+i—

a = l.

n+1 n + 1

c) h_d = -i, ciąg siały, a*-i,

2. Wsk.: w a), b), c). podzielić licznik i mianownik praż n, d) a_n ->(() *-iX2-0) = 2i

n^z + l n^+1

d)a_n = ^+i(2-— ),«=2i.

ⁿ n*

i

3 a) 0, b) granica nie istnieje, c) c² -eosy + ismy=i,    d)-i, c) I, 0-1

4    Wsk.: u), h)a_n-»ao jtO. c) lima_n» lim|a_nKcofirop+isinn<p), granica la nie istnieje.

n >w n

khć* -»4-oo, a ciąg (cosity+isinmp) nie ma granicy. d)*_n-frl*0,

c)    lim a _B nie istnieje, I)a„->iaO.

5. S„ *0 dla n parzystego, S„ ■ -I dla n nieparzystego,

■>    j³()-j^Jn)    |

S_rłni^J+i⁴+.. +.i²ⁿ*--—    r(l-(-l)ⁿ). limS„ nic istnieje, szereg rozbieżny.

1 — p    *    n mo

6    a) zbieżny, b) zbieżny, c) rozbieżny, d) zbieżny, e) rozbieżny 0 zbieżny. Wskazówko każdy / łych szeregów zapisać naloty w postaci £(<x_n+tPp)

7    u) bezwzględnie zbieżny, b) warunkowo zbieżny, c) bezwzględnie zbieżny.

d)    bezwzględnie zbieżny, c) bezwzględnie zbieżny, geometryczny, 0 rozbieżny, g) bezwzględnie zbieżny, li) bezwzględnie zbieżny, i) warunkowo zbieżny