MATEMATYKA153

VI. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE

1. CIĄGI FUNKCYJNE

OKREŚLENIE CIĄGU FUNKCYJNEGO Ciągiem funkcyjnym nazywamy ciąg, którego wyrazami są funkcje określone na pewnym wspólnym zbiorze.

Jeśli f_n oznacza funkcję przyporządkowaną liczbie naturalnej n, to ciąg funkcyjny oznaczamy symbolem:

(f.)    lub ' f„ f„

«f„(x))    lub f,(x).f,(x),..,;

przy czym funkcję f_n nazywamy wyrazem ogólnym tego ciągu.

Na przy kład zapisujemy:

(xⁿ):    x,x~,x\...    dla x €(-00,4-00),

(lnnx); Inx,ln2x,ln3x,...    dla xe(0,+oo).

ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU FUNKCYJNEGO Ciąg funkcyjny (f_n(x)) określony na zbiorze X dla każdego ustalonego x e X jest ciągiem liczbowym zbieżnym lub rozbieżnym.

Na przykład ciąg funkcyjny (xⁿ) określony dla x € R jest zbieżny w punkcie x, = gdyż ciąg liczbowy ((-)") jest zbieżny i ma granicę równą 0. Natomiast ciąg ten jest rozbieżny np w punktach x, = 3, Xja-2, ponieważ ciąg liczbowy (3") jest rozbieżny i ma granicę +oo, zaś ciąg ((—2)ⁿ) jest rozbieżny i nic ma granicy.

Mówimy, że ciąg funkcyjny (f_n) jest zbieżny punktowo (jest zbieżny) na zbiorze X do funkcji granicznej f (granicy f). co zapisujemy

f->f lub lim f_n(x) = f(x) dla xeX,

X    n *«/>

gdy dla każdego ustalonego xeX ciąg liczbowy (f_n(x)) jest zbieżny do liczby f(x), czyli

(l.l)    A AVA|f,(x)-f(x)|<e.

x*X «>0 K n>K

Mówimy, źc ciąg funkcyjny (f_n) jest jednostajnie zbieżny na zbiorze X do funkcji granicznej f, co zapisujemy

f lub f_n(x)=Tf(x)

X    X

gdv

(1.2)    AVA A|f„(x)-f(x)|<e.

C>0 K n.>K xtX

Definicje zbieżności punktowej i jednostajnej różnią się kolejnością kwantyfikatorów /\ i V. Z tych definicji wynika, że

Jeżeli ciąg jest jednostajnie zbieżny na zbiorze X, to jest on zbieżny punktowo na tym zbiorze

Twierdzenie odwrotne jest fałszywe

Rys M

Rys 1.2