17756 MATEMATYKA170

330 VI. Ciąx> i szeregi funkcyjne

Funkcja f (nieparzysta) ma rozwinięcie w szereg Fouriera według sinusów. Obliczamy

1 " 2 "

b_n» — J f(x)sin nxdx ~ { f. podcałkowa jest pnrzysiu }=— J3sin nxdx =•

n    o

=—cosnx| =—(cosnrr-l)=-^((-l)ⁿ-l), n -1,2.....

7cn |₀ rm    rcn

Zatem dla X€<~n.7i>

=|^^sm(²ⁿ+!)x Ponieważ f"(x) = f(x) dla xe(0,7t), więc

^f(x)=TJ_n\Tv^{sin(2ndla X€}(<W

U^n{2n

Z ostatniej równości dla x = n/2 otrzymujemy

³⁼Ż„(2n+l)^Sm(2n+,)T’

czyli

*> *

£M)^b ^77⁼7 (i**- p^¹* ³ 3*¹⁰⁷⁰⁷ VI>-

n 0

Czytelnikowi pozostawiamy naszkicowanie wykresu sumy S(x) otrzymanego szeregu trygonometrycznego np na przedziale < -371,371 >.    ■

b) Budujemy funkcję pomocniczą f* parzystą, spełniającą warunki Dirichlcta na przedziale <-n_sK> i równą funkcji f na przedziale

f*(x)=3 dla xec-7r,7t>.

Ponieważ dla funkcji f* mamy; b„ =0 dla n = 1,2.....

a₀=ijr(x)dx=i]3dx=6.

*    -n

oraz dla n= 1,2,...

^an“~ jf*(x)cosnxdx={f podcnlk parzysta} = —j3cosnxdx=0.

więc szereg Fouriera dla funkcji f* na przedziale    (a tym

samym dla funkcji f na przedziale (O.rc)) redukuje się tylko do jednego składnika a_n/2 = 3.    ■

PRZYKŁAD 4.3 Rozwiniemy funkcję f(x) = 2x dla xe(0.x) w szereg Fouriera według: a) sinusów, b) cosmusów

a) Budujemy funkcję pomocniczą f* nieparzystą, spełniającą warunki Dirichlcta na przedziale <-7r,*> i równą funkcji f na przedziale (0,7t):

f/_Y\-l^{2x d,a X€}(-*»*).

^{K )} \0 dla x = -*,n.

Ponieważ dla funkcji f* mamy

n    n

a_n-0, b„=— |r(x)sinnxdx = ^Jxsinnxdx=(-l)ⁿ*¹—,

n    0

więc dla x€<-x,x>

r (x)=4^T(-1)"*¹ -sin nx.

a-l

Stąd

2x=4^(-l)ⁿ' ^sinnx dla x€(0,w).

n«l

b) Budujemy funkcję pomocniczą f parzystą, spełniającą warunki Dirichleta na przedziale <-n,n> i równą funkcji f na przedziale (0,7t):

rtxi=/"^{2x d,a X6}<-*.o>» ' \ 2x dla xe(0,it),

czyli

f(x)«2|xl dla xe<-n,*>.

Dla funkcji f mamy

R

b_rt=0, a₀*-j2|x|dx=2x,

•*

^an = “ J 2|x|cosnxdx=£ J xcosnxdx = -~((-1)" -1).