MATEMATYKA162

314 VI. Gggi i szeregi funktyjne

Rozwijanie funkcji w szereg maclaurina.

PRZYKŁAD 3.4 Rozwiniemy w szereg Maclaurina fun-

keje:

a)f(x) = c\ h)f(x) ~sinx. c) f(x) = (1 ł x)^a.

Dla każdej z tych funkcji znajdziemy szereg Maclaurina (3.3), a następnie sprawdzimy dla jakich x spełniony jest warunek

limR_n(x) = 0.

n-»»

a) Ponieważ dla funkcji f(x) = c* mamy C"^l(x)-c^x, f⁽"’(()) - 1 dla n G N, więc szereg Maclaurina funkcji c^x ma postać ^xⁿ    , x x²

> -S 1 !• — +-•+••• .

tt "i 'i    2!

Dla |x|< a, gdzie a oznacza dowolną liczbę dodatnią, mamy

|fk>(x)i= c^x<c^a = M.

Tak więc, pochodne funkcji e' są wspólnie ograniczone na dowolnym otoczeniu punktu x = 0, zatem zgodnie z twierdzeniem 3.3

limR„(x) = 0 dla x eR.

n »jfi

Z twierdzenia 3.4 wynika więc, że

(3.7)

^e*⁼Źnl ^{dla x} €(-»,'+<»).

n-0 ⁿ‘

W szczególności dla x = 1 otrzymujemy

,111

c * 1 + - t — i—

I! 2!    3!

b) Dla funkcji sinx można wykazać, że P^nl(x) = sin(x + -y).

l^(n>(0) ~ sin*—¹ dla n eN. Szereg Maclaurina funkcji sinx ma więc postać

®    „ 2n»l    1    5    ?

Z/ _un X    XXX

n-o (2n + l)!    3!    5!    7!

Pochodne funkcji sinx su wspólnie ograniczone, gdyż

|f⁽’'(x)Hsin(x+y)| SI dla _x «=<-«.+*) ^{1 n 6 N} ■

Zatem

limR„(x) = O dla _{x e}(_oo,+<*>)•

Z twierdzenia 3.4 otrzymujemy

(3.8)    sinx = £(-1)"W—rj dla x e(-»,+»).

c) Dla funkcji f(x) = (1 + x)“, gdzie a jest dowolną liezbą rzeczywistą, wykazuje się, że reszta R„(x) we wzorze Maclaurina dla lej funkcji dąży do zera na przedziale (-1,1) tzn.

lim R_n(x) = 0 dla x e(—1,1)-

n-»«

Ponieważ

f^(n>(0) = a(a- l)-*-(a- n + I), neN, więc z twierdzenia 3.4 dla x_(l = 0 otrzymujemy

(3.9)    (1 + x)“ = I ₊^x ₊ 2ązilx² +• — fllY dla xe(-l, 1).

*• _n,₀\ )

PRZYKŁAD 3.5 Rozwiniemy w szereg Maclaurina funkcje r(x)=xe*\

Dla dowolnego t G(-00,00), zgodnie ze wzorem (3.7), mamy

w _fⁿ

c' = Z~.

n-on!

a następnie podstawiając t * X² otrzymujemy

e*’ « £— dla x€(-oo,+oo).

n-0 n!

Stąd

XC = £

2n*l

n-0 n!

dla X €(-oo,-ł-oo).