MATEMATYKA161

312 VI Ciągi i szeregi funkcyjne

Przypomnijmy, że, przy podanych założeniach, dla każdego xeU(x₀) i każdego neN istnieje punki c pośredni między' x i x_n taki, źc zachodzi następujący wzór Taylora (3.4) gdzie

^R"^(x)=^^(x~^x'>⁾"-

Niżej podamy twierdzenia o sumie szeregu Taylora i związku między' szeregiem Taylora (3.2) i wzorem Taylora (3.4) funkcji f:

TWIERDZENIE 3.3 Jeżeli funkcja f jest klasy C' na otoczeniu U(x₀,ó), przy czym wszystkie pochodne funkcji f są wspólnie ograniczone na tym otoczeniu, to

limR„(x) = 0 dla x€U(x₀,S).

n -*«c

Dowód. Z założenia wszystkie pochodne funkcji f są wspólnie ograniczone na otoczeniu U(x₀,S), zatem istnieje taka liczba M • 0, że dlaxeU(x_0ł5) i neN mamy

M

Ponieważ szereg potęgowy I —-ó" jest zbieżny (kr. d Alembcrta), więc

n!

lim Mó" = 0.

n-*«o n;

W konsekwencji limR_(x) = 0 dla x€U(x₀,5).    D

H k.Tl

TWIERDZENIE 3 4 Jeżeli funkcja f jest klasy C¹' na otoczeniu U(x₀,5) punktu x₀ oraz

lim R_n(x) = 0 dla x€U(x₀,6),

n-**

to szereg Taylora funkcji f jest zbieżny na tym otoczeniu i sumą tego szeregu jest funkcja f (x), czyli

(3.5) f(x) = Y^(x-x₀)ⁿ dla xeU(x₀,8), ^n!

Dowód Niech

S.(x)-f(x₀)+^(x-x₀)+--+^^(x-x_or’.

wówczas zgodnie z (3.4) mamy

f(x) = S_n(x) + R_n(x) dla xeU(x₀₁8).

Z założenia limR_n(x) = 0, więc f(x) = lim S_(x), a to oznacza, że

n »«0    D-»«r

funkcja f jest sumą szeregu Taylora, gdyż S_n(x) jest n-tą sumą częściową tego szeregu    □

Równość (3.5) nazywamy rozwinięciem funkcji f w szereg Taylora. Mówimy również wtedy, że funkcję f rozwinęliśmy w szereg Taylora. W szczególności, gdy x₀ = 0, równość

f(x) = jr^5>xⁿ dla x €U(0,5)

(3 6)

f<ⁿ⁾(0)

i»=0

nazywamy rozwinięciem funkcji f w szereg Maclurina

TWIERDZENIE 3.5 (o jednoznaczności) Jeżeli funkcja f jest sumą szeregu potęgowego £a_n(x - x₀)ⁿ dla x e U(x_0łó), to

n-0

. „ = 0 1

“n n! '    * * *

czyli szereg ten jest szeregiem Taylora funkcji f.

Oznacza to, źc daną funkcję f można przedstawić tylko w jeden sposób za pomocą szeregu potęgowego o środku w punkcie x₀, W szczególności, gdy x₀ = 0, szereg ten jest szeregiem Maclaurina funkcji f.