MATEMATYKA155

300 VI. Ciągi i szeregi funkcyjne

2. SZEREGI FUNKCYJNE

SZEREGI FUNKCYJNE Jeśli dany jest ciąg funkcyjny (f_n) na zbiorze X c R, to wyrażenie

•*>

f, + f, + fj +•*• czyli £f„

o»l

lub

f,(x) + f₂(x) + fj(x)+-- czyli £f_n(x)

n-*l

nazywamy szeregiem funkcyjnym

Ciąg funkcyjny (S_n(x)) określony następująco:

S_n(x) = f,(x) + f₂(x) t----+f_n(x) dla xeX,neN

tfl

nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu £f_n(x).

n=l

Mówimy, że szereg funkcyjny £f_n(x) jest zbieżny (jednostajna!

nie zbieżny) na zbiorze X, jeżeli ciąg sum częściowych (S„(x)) tego szeregu jest zbieżny (jednostajnie zbieżny) na zbiorze X, przy czym funkcję graniczną S(x) ciągu (S_n(x)) nazywamy sumą szeregu i zapisujemy

£f_n(x) = S(x) dla x € X.

n*l

if

Zatem szereg funkcyjny Yf(x) jest zbieżny dla x e X wtedy i

n I

tylko wtedy* gdy dla każdego ustalonego x₀eX szereg liczbowy

■o

Lf„(^xo) jest zbieżny.

0*1

Z twierdzenia 1.1 i definicji jednostajnej zbieżności szeregu wynika, że

suma szeregu jednostajnie zbieżnego o wyrazach będących funkcjami ciągłymi jest funkcją ciągłą.

Mówimy, żc szereg funkcyjny £f_n(x) jest bezwzględnie zbieżny na

rv*> 1

zbiorze X, gdy szereg funkcyjny £|f_n(x)| jest zbieżny na zbiorze X.

»*«i

SZEREG GEOMETRYCZNY

PRZYKŁAD 2.1 Zbadamy zbieżność szeregów:

a) £sin"x,    b)£x ^:n,    c)£(lnx)\

n il    n*0    «’'0

szeregów jest równa

Są to szeregi geometryczne o ilorazie q i pierwszym wyrazie a odpowiednio równych: a) q = sin x, a = sin x, b) q = x , a = l, c) q = lnx, a = l. Każdy z tych szeregów funkcyjnych jest zbieżny jedynie dla takich x, dla których |q|< 1 lub a=0. Suma każdego z tych a

i-q

a)    Szereg jest zbieżny, gdy spełniony jest warunek -1 < sin x < 1

tzn. dla x eR\{~+kn, k eC) Suma tego szeregu jest równa    .

b)    Ponieważ -1 < x'² < 1 o x^: > 1 <r> x < -1 v x > 1, więc

x²-l

szereg jest zbieżny dla jx|> l.Suma tego szeregu jest równa

c) Ponieważ -l<lnx<lo-<x<e, więc szereg jest zbieżny

e

na przedziale    , e) Suma tego szeregu jest równa -p-®

Zauważmy, ze jeśli szereg funkcyjny geometryczny ma iloraz q, to szereg utworzony z bezwzględnych wartości wyrazów tego szeregu jest też szeregiem geometry cznym, a jego iloraz jest równy |q|. Stąd wynika, żc:

Każdy szereg funkcyjny geometryczny zbtezny na zbiorze X, jest bezwzględnie zbieżny na tym zbiorze.