MATEMATYKA157

304 VI. Ciągi i szeregt funkcyjne

g) £(sinx)^:\

n=J

j>

h)S^e“- '    0 Z*”-

n=1    n=0    n=I

k)£(-^,)^io*'(2x+3)"_> l)]P<2x^J+3)ⁿ.

n^O    o 0    n I

Wykazać jednostajną i bezwzględną zbieżność szeregu:

^a)Z^^s“V dla |x|sM.    dla x eR.

sin nx

^C>Z ^C>I

_e) y .n!<xn)" (2n)!

(nx)²

lnx

n²x

dla |x|2M>0,    d)£

nc

»n»l

dla x£0.

dla l<aSx$M, 0    dla|x)£M,

dla |x(< M <—,

V

")S

—

d- Obliczyć sumę szeregu £(2x)ⁿ * a następnie sumę szeregu:

⁵⁰    .\n*l

n + 1

n O

co

**    *“    " /^yim

a)£n2V-’,    b)£n(2x)\

n=1    n--l    n O

^•Ipowlcdii.

¹ »K-1,IX—S-- b)(-l,OMO.I). —-3-. c)rozb.dl«X6R. d)(-1,1),-^—

I-X²    x(l-x')    ^{4 4} l-l 6x

e) (-3 -V7mV7,3).    O (-«.-3)w(-V7.V7)u(3.+«»X -J—,

9-x'

K) K\{■~+kn,k«C ), 1p²x. h)(«,♦«),

2    c -I

x -9 x

1-e

x ¹

jHyi). —ii-y.

^{2 2} U4x*

k)(-2.-l).    I)iwb dla xrR

2 W*..)|anitsŁ4_sM.w*c    b)|^|i-L. ^c>

n n n n n _n* n n* (nxr n M* d)l.-~|sl dla

i

D»l

3.

^n*i

,M<?. b)

(l~2x)

n*x nn

,M<i. c)-ln(l-2x), •~Sx<^

3. SZEREGI POTĘGOWE.

SZEREGI POTĘGOWE. Szeregiem potęgowym o współczynnikach a, ,a_z,... i o środku x₀ nazywamy szereg funkcyjny postaci

Ś^ai.(x^-xo)”-

»»l

W dalszych rozważaniach będziemy głównie zajmować się szeregami potęgowymi o środku x₀ = 0, tzn szeregami postaci

<x>

Z³.*"

n»l

UJ

Łatwo zauważyć, źc każdy szereg potęgowy £a_nxⁿ J^cst zbieżny w punk-

n I

cie x = 0 i jego suma w tym punkcie jest równa zero.

TWIERDZENIE ABELA. Jeżeli szereg potęgowy Za_nxⁿ jest zbieżny w punkcie x₀ * 0, to jest

(1)    bezwzględnie zbieżny dla x e(—|x₀|,|x₀|),

(2)    jednostajnie zbieżny na każdym przedziale < -p,p>, gdzie p jest dowolną dodatnią liczbą spełniającą warunek:/^ <]x₀|.

Dowód (1). (Szereg Ia_nxⁿ zbieżny dla x = x₀) =>

war Iron

=> (szereg liczbowy Za_Bx5 zbieżny) => (lim a_nxj = 0) =>

rhiner n->*

=> (ciąg (a_nxj) zbieżny) => (ciąg (a_nxj) ograniczony) =>

(istnieje takie M, że |a_nxj|£ M dla n e N).

Stąd

w kx"H*xnfrsMifr-

*o    ^xO

Szereg I M|—p jest szeregiem geometrycznym o ilorazie q =|~l i jest x₀    x₀

zbieżny, gdy |q|< 1. Ponieważ