3582320731

1. CIĄGI LICZBOWE

1.1 PODSTAWOWE OKREŚLENIA

Def. 1.1.1 (ciąg liczbowy)

Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych i przyjmującą wartości ze zbioru liczb rzeczywistych. Wartość tej funkcji dla liczby naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ciągu i oznaczamy przez a„, fan, itp. Ciągi o takich wyrazach oznaczamy odpowiednio przez (a„), (b„), itp. Zbiór wyrazów ciągu (a,,), tj. zbiór {a„: ne N] oznaczamy króko przez {a_n}. Obrazowo, ciąg można traktować jako zbiór ponumerowanych liczb rzeczywistych, które są ustawione według rosnących numerów. Ciągi będziemy przedstawiali na płaszczyźnie jako zbiór punktów o współrzędnych (n,a„), n e N.

Def. 1.1.2 (ciąg ograniczony z dołu)

Ciąg (a„) jest ograniczony z dołu, jeżeli zbiór {a„} jest ograniczony z dołu, tzn.

v a a„ > m

me fii leJY

Obrazowo, ciąg jest ograniczony z dołu, gdy wszystkie jego wyrazy leżą nad pewną prostą poziomą.

Def. 1.1.3 (ciąg ograniczony z góry)

Ciąg (a„) jest ograniczony z góry, jeżeli zbiór {a_n} jest ograniczony z góry tzn.

v a a,,<M

MeR nei\ ¹

Obrazowo, ciąg jest ograniczony z góry gdy wszystkie jego wyrazy leżą pod pewną prostą poziomą.

Def. 1.1.4 (ciąg ograniczony)

Ciąg (a„) jest ograniczony jeżeli zbiór {a„} jest ograniczony, tzn.

v a m < a,. < M

m, Me fi iie N

Uwaga. W definicji można dobrać stałe m i M, aby 0 < M = - m. Wtedy

a łaj < M

IIEiY¹ 11

Obrazowo, ciąg jest ograniczony, gdy wszystkie jego wyrazy leżą między dwiema prostymi poziomymi.

Def. 1.1.5 (ciąg rosnący)

Ciąg (a„) jest rosnący jeżeli

a₁<a₂<a₃<...<a_n <..., tzn. ₍^\,^an+i > ^an.

Obrazowo, ciąg jest rosnący, gdy jego wyrazy powiększają się ze wzrostem indeksów.

Def. 1.1.6 (ciąg niemałej ący)

Ciąg (a„) jest niemałej ący jeżeli

a _l<a₂<a₃<...<a_n <...,tzn. ^ °„₊i

Obrazowo, ciąg jest niemalejący gdy ze wzrostem indeksów wyrazy ciągu powiększają się łub pozostają bez zmian.

Uwaga. Analogicznie można zdefiniować ciąg malejący i nierosnący. Ciągi rosnące, malejące, nierosnące i niemalejące nazywamy ciągami monotonicznymi. Definicje ciągów monotonicznych są szczególnymi przypadkami definicji funkcji monotonicznych. Wprowadza się także pojęcie ciągów monotonicznych od pewnego miejsca nce N.