1935182601

12

SPIS TREŚCI

0.3 Ciągi liczbowe

Definicja 0.3.1 (Ciąg liczbowy) Ciągiem liczbowym nazywamy każdą funkcję / : N R.

Uwaga 0.3.1 Ciąg liczbowy a : N h> 1 oznaczamy również jako

a = (a(l), a(2),...) lub    oraz jako (a_n)„_€N-

Jednym z najważniejszych pojęć w teorii ciągów liczbowych jest pojęcie granicy ciągu

Definicja 0.3.2 Niech będzie dany ciąg liczbowy (a_n)n€N, to liczbę rzeczywistą g € R nazyway granicą ciągu liczbowego jeśli

Ve > 03no € Nn > n₀ to |a„ — g\ < e Uwaga 0.3.2 Granicę ciągu liczbowego oznaczamy przez lim On.

Przykład 0.3.1 (lim ^ — 0) Niech będzie dana dodatnia liczba e > 0. Korzystając z faktu że N jest nieoganiczony z góry w zbiorze R, istnieje n₀ E N taka że \ < no- Niech n £ N będzie dowolną liczbą naturalną n G N większą od nq. Wtedy mamy

0 < - < n —> 0 < - < e —» - - 0 < e. e    n    | n

Ostatecznie mamy że dla dowolnego e > 0 istnieje no £ N, takie że dla dowolnego n > no zachodzi

I— — o| < e,

|n

co należało dowieść.

Przykład 0.3.2 flim ifn = l) Niech e > 0 będzie dowolną liczbą dodatnią rzeczywistą. Więdząc że zbiór N jest nieograniczony w R wynika, że istnieje no € N dla którego zachodzi 2 , ,

— + 1 < no, e²

tak więc jeśli n > no to wtedy

n(n — 1) .

-G>^2<£(

U² = (i + _f)"

stąd mamy

O < \/n — 1 < e dla n > no = no(e)