Ebook5

40 Rotdtinl 2. Ciągi liczbowe

Ciąg, który jest jednoczenie ograniczony z góry i z dołu nazywamy ciągiem ograniczonym.

PRZYKŁAD 1. Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone: a) a_n = \/4n -t- 5 - 2y/ń, h) b» -

ROZWIĄZANIE, a) Mamy a„ = y/lri -f- 5 — 2y/n.

Należy sprawdzić, czy

Bm.MtR V„_eN m s* v/4n + 5 - 2y/ri < M.

Łatwo zauważyć, że

_r——    _r 4n + 5 - 4n    5

v4n -f 5 - 2y/n =    -— = ■    .

>/4n 4 5 2v/n v/4n 4- 5 -f 2>/n

Mamy

0 <

dla każdego u € N.

Badany ciąg («.„) jest ograniczony z dołu przez liczby ni 0, zaś z góry jest ograniczony przez M — 1. Zatem ciąg («„) jest ograniczony.

b) Marny b_u =    ¹ = 2n +

Wypiszmy kilka początkowych wyrazów ciągu (6„):

ó, = 3, b-2 = 4^, 63 - 6^, 64 = 8^ 65 = H)i,...

2    3    4    T>

Dla każdego n G M mamy 3 ^ 2n 4* zatem ciąg jest ograniczony z dołu przez liczbę m = 3.

Ciąg (6„) nie jest ograniczony z góry, gdyż dla każdej liczby rzeczywistej M istnieje liczba naturalna no taka, że

brio — 2w₀ -t-    > M.

no

Definicja 2.4. Ciąy («„) nazywamy 1) rosnącym, jeżeli V,_lGN a„ < «„_f 1,

9 I Ci <w i rnonotumcznr. i ograniczone

41

II) nicmalcjącym, jeżeli V,_iGn «»» < Or»+i.

\) malejącym, jeżeli V_nGN n„ > a_n+i,

-I) nlerojnącym, jeżeli V„_gn a,, ^ a_n+|.

< umiejące, rosnące, niemniejącc i nierosnące noszą wspólną nazwą $iągów monofonicznych.

1'H/YKbAD 2. Zbadać, czy podane ciągi są inonotoniczne:

b *»» ■ •

10 6n-^.

MOZWIĄZANIE.

n) Din każdego n € N mamy

2n 4- .'1 .    2{n + 1) 4- 3    2n 4- 5

4n 4- 1 * ^a”⁺¹    4(n 4- 1) 4- 1    4?i + 5

M nlnmy znak różnicy a_n+j - n„ i otrzymujemy

2n 4* 5    2n 4- 3

®n+l    ⁼    7~7    1 I 7

4n 4-5    4n + 1

(2n 4- 5)(4n 4- 1) - {2n 4- 3)(4n 4- 5)

(4n 4- 5)(47* 4- 1)

Sn² 4- 20n + 2n + 5 - 8rt² - l()n - 12n - 15 (4n 4- 5)(4n 4- 1)

-10

(4rt 4- 5)(4n 4- 1)’

Ponieważ

V„_gn «f. H - <hi < 0,

Wiąc badany ciąg («„) jest. malejący.

b) Dla każdego n E N mamy

4” • (2n)! . .    4ⁿ⁺¹ • (2(n 4- 1))!

On —    •    *    5,1+1 —    .    ...

n!    (n 4- 1):

Twoi zytny iloraz

h

M

4ⁿ⁺¹ • (2 n + 2)! n!

(n 4- 1)!    ‘ 4" • (2n)! “

4" • 4 • (2n 4- 2)(2n 4- l)(2n)l n!

(71+ l)7i!    ’ 4ⁿ • (2n)!

= 8(27i+ 1).