Ebook2

54

Rozdział 2. Ciągi liczbowe

ROZWIĄZANIE.

Pokażemy, że ciąg (b_H) jest zbieżny tło granicy właściwej. Wtedy z Twierdzeniu 2.3 otrzymujemy, że badany ciąg jest. ograniczony.

Ponieważ a_n — .}- > 0 dla n = 1,2,... oraz lim o,, = 0, więc na podstawie

*ⁿ    n—oo

Twierdzenia 2.9 mamy

Otrzymaliśmy, że ciąg (/>„) jest zbieżny do granicy właściwej, czyli jest ograniczony.

Twierdzenie 2.11. (o trzech cięgach) Załóżmy, ze (lane są trzy ciągi (o*), (/>„), (c„), dla których istnieje liczba naturalna taka, ze• a_n ^ b_n ^ (’n dla każdego n ^ rio, «€ N. Jeżeli lim a_n = lim c„ = g, to lim b_n - g.

n -»oo    n -ioo    n—*oo

PRZYKŁAD 12. Obliczyć granice:

c) lim \/4~ⁿ + 2ⁿ + cⁿ.

M—»0O

ROZWIĄZANIE.

a) Łatwo zauważyć, że l) ^ sin² n ^ I dla każdego n G N. Zatem dla każdego n G N mamy

2n    38in²n + 2n    3 + 2n

5n - 1 ^:    5n — 1    5n — I

r:

(Immca ciąg u liczbowego

1'nnleważ

2 n 2    .»    ,

lun 7-7 = r oraz litu 2n ₀

n-oo 5n - 1    5    n-łoo 5^- = 2

Więc: nn podstawie Twierdzenia 2.11 mamy    ¹    5*

.. 3sin^ln42n o

lim -- as ⁴

n-*oo 5n - 1    r    •

!•) Din każdego n € N mamy

'Jn+ n* ^ >/1 4- n² y/2 + 7i² INinleważ

+ •• • 4----J

^ ^ ⁷¹

* ^3-

Ijm . = lim ¹

1,

»♦'^oo v/i 4 jt    «—<» yr^T7

wlę< z Twierdzenia 2.11 mamy

1 i lim ~~J_^ł

M—«00    == I'    i

^N/Ti 4-n? Jim —J

"* ?₊,

lim f -1—

M-oo \ v/l 4 n

*    v/2T^

4 ... -f

^ + n*) * ^L

v) Można zauważyć, że eⁿ < 4    4 2" 4 eⁿ $: 3_f;»‘

^ ^ s/\~ⁿ 4- 2^T* 4- e” ^

e ^ >/4“ⁿ 4 2" 4- c" ^ c. ■ '</3.

/'dem /.<* wzoru (2.2) oraz Twierdzenia 2.11 mamy

lim v^4-ⁿ 4 2” 4- eⁿ = e. n-*oo

twierdzenie 2.12. Niech a będzie ustaloną liczbą rzeczywistą. Wtedy

nie    istnieje dla    a^-1

Ijm oⁿ = i °    dla    ae(-l.l)

ⁿ-°°    1    dla    a = 1

4-oo    dla    a > 1.