DSC07026 (4)

40

Ciągi liczbowe

Zauważmy, że — ś 1 dla n £ I. Oznacza lo. że ciąg (*„) jest nierosnący. Ciągu,

jest ograniczony^? dołu, bo dla każdego n € N mamy *« > 0 Z twierdzenia o d* monotonicznym i ograniczonym wynika, że jest on zbieżny. Niech g oznacza granicą t^ dągu. Przechodząc w równości x„*, = x* • — 2 » do nieskończoności otrzymamy

równanie g = g-0. stąd g = 0.

(

b) Monotoniczność ciągu (y_n) określimy badając znak różnicy y_n+i - y_n . Mamy

Vn+1 - yn =

■ (n + 2)! " (n + !)! (n + 2)l

)-(

)

< 0 dla każdego n € N.

Zatem dąg («n) jest malejący. Ograniczoność tego dągu z dołu wynika z n.erównoW o. > Odia każdego n € N. Z twierdzenia o dągu monotonicznym i ograniczonym wynika, xe ciąg (yn) jest zbieżny. Wyznaczenie granicy tego ciągu wymaga jednak wiadomości x teorii szeregów (dąg ten jest zbieżny do e - 1).

c) Zauważmy najpierw, że dąg M ma wyrazy dodatnie, a zatem jest ograniczony i

dołu. Ponadto dla każdego n € N mamy

To    że ciąg ten jat malejący. Z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograni-

czonym wynika, że ciąg (*») jest zbieżny. Niech g oznacza jego granicą. Przechodząc w równoaa    = z* • —-— z n do nieskończoności otrzymamy warunek g = Y+~g'^5li^

9 = 0.

d*) Pokażemy, że ciąg (tv.) jest rosnący. Rzeczywiście, dla n € N mamy

=v_n

Uzasadnimy teraz, że dąg jest ograniczony z góry. W tym celu wykorzystamy nierówność

1 + x < e² dla x > 0.

Stosując ją do każdego czynnika wyrazu Vn otrzymamy

Korzystając teraz z nierówności

i + ijl + • ■ • + yr

v» < e^l as e.

oraz z faktu, że funkcja e* jat rosnąca, mamy

Zatem dąg (»•) i**¹ ograniczony z góry przez e. Z twierdzenia o dągu monotonicznym I ograniczonym wyrok*, że ciąg ten jot zbtezny. W miejscu oznaczonym (.) korzystaliśmy ze wzoru na su mą n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

1 - o"

Przykłady

41

c) Korzystając z indukcji matematycznej pokażemy, że dąg (w_R) jest malejący, Un. dla n € N spełnia nierówność u»_n*i < »«• Mamy

Zatem nierówność Wn+\ < tr_n zachodzi dla n = 1. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, żc zachodzi nierówność v_ą+t < w.. Pokażemy, że wówczas zachodzi także nierówność u/*+.a < w*+i. Rzeczywiście, mamy

Ułnłl =    < ^EiT+5 = Wiiłl-

łaS.

Z zasady indukcji matematycznej wynika, ie nierówność 10*41 < ur_n jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n. To oznacza, że badany ciąg jest malejący.

Ograniczoność od dołu tego ciągu wynika z faktu, że jego wyrazy są dodatnie. Z twierdzenia o dągu monotonicznym i ograniczonym wynika, że ciąg (u?n) ma granicą. Oznaczymy ją przez g i obliczymy. Przechodząc z n do nieskończoności w równości

oraz korzystając z twierdzeń o granicy sumy i pierwiastka otrzymamy równanie

9= 1/óTi.

Równanie to po przekształceniach przyjmuje równoważną postać

6=0.

Łatwo sprawdzić, że jedynym pierwiastkiem rzeczywistym tego równania jest g = 2. Zatem lim w_n = 2.

f) Zbadamy najpierw monotoniczność dągu (u_n). Mamy

2»+i

~ 3"^+l + n + l ^><Ł

3 + 1    3*+ 2    3^J+3    3"+n

Pokazaliśmy, że badany ciąg spełnia założenia twierdzenia o dągu monotonicznym i ogra*

A SU:

C