DSC07027 (4)

42

Ciągi liczbo*

Przykład 1.10

Korzystając z definicji liczby t oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć podane granice:

(n + i)^2,|ł+4n

) lim (l + —^1 ; b) lim (1 - fp| ; c) lim ~~ n-ioo y ' 2n + 3/ ’    ' ^n-*o° V »V ⁿ-»(n³ +

2n)

n^,+7*'

'Śo(¹ + 5?) ■

|

Rozwiązanie

Liczbę c definiujemy wzorem

'M Urn (l + iy.

n—co \ nj

Twierdzenie o podciągu ciągu zbieżnego mówi, że ma on tą samą granicą co ciąg. a) Mamy

Ki 3

e) lim (0.99.. .9 )    ;    f*) lim

n „dtiewi^iek"

_lim(i ₊ _L_r=Um

n—cc \ 2n + 3/    n—oo

■9

2n+3

(1+0)*

___    (1+sW.

(1 \

1 + - j - j jest podciągiem ciągu

m

b) Niech n > 1. Wtedy

ifcii

('"gi I[(^l|lp⁺£jjf = J5t

lim (l + i)C.

_    w—co \ ni

(-^t)

lim (l + -L₇)-^,.|h. (l + -ł-\ ^{e l}

n—oo \ Tl — 1/    n—co \    71 — 1/

= 1.

c) Mamy

lim i"⁺¹£r = lim f^l (n² +2n)* ⁺³ⁿ    \»⁹ + 2ny_

_ i- /n^a + 2n + 1 \ ^w    te. l \"*+²"

“-*⁰⁰ \ »^a+2n )    ~ n-~oo V ⁺ n² + 2n)

Om«ni. równość wynika z faktu, że cl« (l + _l__y’^+,n jest podciągiem ci

n +3n

n³+2n

ciągu

Przykłady

d) Mamy

f 4n \*    „     ' -_r s lim —7=====5s = -73**

W rozwiązaniu korzystaliśmy z faktu, te ciąg (» + hT ** ^podd«^km ^ 0 ⁺ «) oraz z twierdzenia o granicy pierwiastka cłąS“*

lim Zn = n—oo

gdzie Zn ^ 0 dla nCN.

^ ^MlŁmy    _lQn    / l^J

lim (0.99. .^9 )'° « _n4“o V “ 1(F)    ” e'

n—oo    V '

n ^łitowląUk*

Tutaj korzystaliśmy z równości

oraz z faktu, te ciąg (l -    i»t podciągiem ciągu (l - i)" .

P) Zauważmy najpierw, te ciąg *„ = (l + £j) i«^l Podciągiem ciągu e. = (l + ") • Zatem dla każdego n e N pełnia nierówność podwójną 2 < z. < 3. Nierówność «* wynika z dowodu zbieżności ciągu (e„) do c. Ponieważ

(ⁱ⁺^)"⁼V(ⁱ⁺^r- I

więc dla każdego n € N spełnione są nierówności

y/2 < C1 +    < tf3.

a    l v f»

Ciągi ograniczające ciąg    ^) H zbieżne do 1. Z twierdzenia o trzech ciągach

wynika zatem, że również ciąg (l + ~j j jest zbieżny do 1.

Twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów

• Przykład 1.11

Korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach znaleźć podane granice: a) Um [n⁴+(-l)ⁿnl; ^b) inn —    ? ■ ;    ^cł

n—oo^{1    7 J}    ' n—oon- Sin U    n—oo¹    V 4)

d) lim \Ze\n n — n; e) lim    0

n-oo    n-oo vyi ^2    V"/    •-*

12 2: