ANALIZA 1 SEMESTR0

d) lim ?/- + —

' n—oo V ^{n n}

[nV2\

4.6 Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia

²_+i-:

,2    77,3

e) Um Vn2» + l;    ^f) ^ (^Vl + rfT5 ⁺ "'⁺ rfW) ⁵

\lT ⁺ + i    1) lim ⁿ⁺v^/3^rl + 4ⁿ+^Ł.

V 5" + 4"    ' Tl—*00 ^v

o granicy podciągu obliczyć granice:

^(trir (f£)l

h) lim

a)	lim | n—*oo	, IN^3""^2(^1+n) ^!	b) hm | n—►OO	/5n + 2 Un + 1
d)	hm n—»oo	(n + 4^^s~^2n	e) lim | TL—► CO	( ^n2
		\72 + 3/		In^2 +1

Lista 5

5.1 Korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach znaleźć granice:

b) lim (4ⁿ + (-3)");

n—»oo

e) lim (n⁵ —10n⁶+l);

n—fcnrł '    '

a) lim ^Jnⁿ + 5;

5.2 Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice:

c) lim (sin 7i — 2)n²;

n—>oo

f) lim [ —=Ą—^=+...-ł—

n—oo \V1 v2    Vⁿ

a) lim

n² + 1

n—»oo    Tl

b) hm (n⁴ — 3n³ — 2n² — l) ;

n—oo ^v    1

_s 1 —(n + l)! e) hm -7——-;

n—*oc    Tl\ 2

c) lim (1 -f 2ⁿ — 3ⁿ);

n—*oc

f) lim (-/3-cos —) ;

n—»oc \    TL J

\    arc tg n

g) hm -———, n—>00 arc ctg n

h) lim

n + l

_{i} Hm} 5££i&21.

n—.cc    2ⁿ

111U    -p-T-,

n—oc _n I łn(n + 1) — ln nj

5.3 Korzystając z definicji Heinego granicy właściwej lub niewłaściwej funkcji uzasadnić równości:

c) lim [xj = —4;

X —> — TT

f) lim (3^X + 1) = 1;

a) lim(x — 2)^5 = 1; x—>3 - -	b) lim = 0; X—0 X
d) lim sgn(cosx) = -1; ' _. 7T -ł-	e) lim -\Jx^7 —9 = x—»—3”
1 — 2x^3 g) hm 3 , i ^_ 2; x—»oo X^3 “h 1	h) hm —i— = oo; 2_* 2+ X - 2

i) lim

3-i

¹ ŁHH ",—ń-“-TT

x— i |x² + 2x - 3|

5.4 Wskazując odpowiednie dwa ciągi uzasadnić, że podane granice nie istnieją:

= —oo.

a) lim-

x-»3 X — 3

d) lim cos Aj-;

b) lim | x²1;

x—2 ^{L J}

e) lim

sgnx

c) hm sin iJx\

x—+OC

f) hm (x-[xj) .

I UH!    TT,

o sgn (x+l)

5.5 Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice:

x—»5

a) lim

x~ — 1

■O X² — X + 1 ’

b) lim —:

x² - 4

U1U T-

x—2 X¹ — X — 2

c) lim

: 4- \fx

d) hm

¹¹¹ d ii

u r -1

Lista 6

e) hm

. x⁶ - 1 i 1 - x² ’

f) lim

■O yfi ’

x² — 5x + 4

mu    et•

x—*-oo    X^X — O)

6.1 Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice (cd.):

y/x - 4

g) hm

y^/^2-2

x — 6

j) lim (v^TI + x); t2² X + 1

h) lim

x—*64 yfx — 8 ’

k) hm

n/t+1

..    -Jl + X - a/1 - X

O ^llmn -^-i

x—*0    2,x

1) hm

2¹ + 1

X-.CC 3* + 2 ’

m) lim

- tg² x — 5

n) lim

x—o 1 — cos x

d) hm ( x->4 \

tgx-

4