skan0013

Rozwiązania

1. Obliczając promień zbieżności, mamy:

lim

n—*oo

O-n+1

I (n +1)³ + 1 M + 2    m +1)³ + 1 n⁴ + 2

lim 4-rrr-—- —-- = lim ^V '

n~*oo (n + l)⁴ + 2 n³ +1 n—*oo n³ + 1    ^:.-|n + l)⁴ -j- 2

= 1 = 0 =>•    = l , .

;Ł ij_m    } + f

co oznacza, że szereg jest zbieżny w przedziale (—1,1). Zbadajmy teraz zbieżność tego szeregu na końcach przedziału, czyli w punktach x — -1, oraz x = 1.

Dla x = — 1, mamy szereg naprzemienny postaci

Mi

n³ + 1

n⁴ + 2

’/4=JL

Sprawdzamy, czy są spełnione założenia kryterium Leibniza. Oczywiście mamy

n³ ■

lim b_n = lim

0.

►oo n-*oo n⁴ -j- 2

Można pokazać, że ciąg {6_n} jest nierosnący, tzn., że jest spełniona nierówność:

(n +1)³ + 1 n³ +1

~ ^un

(n + l)⁴ -f 2 n⁴ + 2

<0.

Na podstawie kryterium Leibniza, szereg Y^(-l)ⁿ——- jest zbieżny.

_ . ti 4" 2

n=l

Zbadajmy teraz zbieżność szeregu z zadania 1 dla x = 1, czyli szeregu postaci:

n^s + 1

n⁴ + 2*

Zauważmy, że

n³ +1 n^a

n⁴ + 2    2n⁴ 2n

n > 1.

2 n

Ponieważ szereg ^ ~ jest rozbieżny, więc na podstawie powyższej nierówności

i kryterium porównawczego rozbieżny jest również szereg >    -

f n⁴ -ł- 2

nml

Odp.: Przedział [—1,1) jest szukanym przedziałem zbieżności iiiwizmm    «>h,u.

2. Obliczmy promień zbieżności:

1 _r 1 1 1 y— = lim ——— = — \/n2ⁿ n—*oo 2 tfn 2

R = 2.

Stąd wynika, że szereg jest zbieżny dla tych x, dla których jest spełniona równość: \x - 2| < 2, czyli dla 0 < x < 4.

Zbadajmy teraz zbieżność szeregu na końcach tego przedziałki^

Dla x = 0, mamy szereg postaci:

Dr¹)’

n2ⁿ

₍_₂₎» ₌ yv_ _1)lt+1(_    = - f; i,

44? m ^K § n2ⁿ ^ n ’

n=l    n=l

a stąd wynika rozbieżność tego szeregu.

Dla x — 4, mamy szereg

oo    nn oo    -

llWWilMi

n=1    n=l

i wiadomo, że jest on zbieżny.

Odp.: (0,4] jest szukanym przedziałem zbieżności.

Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję

3. f(x) == 3x + sin x cos x

Korzystając z rozwinięcia funkcji sin x, mamy

1 1 -°°^

f(x) = 3x + sin x cosx = 3x + - sin 2x = 3x + - y^(-l)

m

2n+l

„=o    (²ⁿ + D^!

Ąn_x2n+1

2

Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych: