226(1)

Znaleźć promienie zbieżności szeregów potęgowych o wyrazach zespolonych:

1034

i w

1036.

n~0

4- oo

2²ⁿ

1038

V »!(

• Zj ToT,

n 1(1+0

.3/1

n= l

-r w

1035. I (ni-Oz²"

/I- 1

n= 1

1039. y^+(-l)'9l ₍__z).

§ 7. Szeregi Fouriera

Szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg funkcyjny o postaci

o₀ , / Jtx _t . nx\ . I 2nx . . 2ttx \ ,

~2+ I Oi cos — -| by sin -j-J + I a₂cos —_/ - +b₂sin —j-\ -f

+(

3ztX , ,    . 3jrX

fl₃COS --l-Ł>3Sin—Y

+...

+°° ,    .

/ nnx , j . mtx \ • Zj |fl-cos-— +6_nsm - j-l

n^\ '    ^J

gdzie: 1 > 0, zaś <7₀, a„, b„ — pewne stale (w — 1,2,...).

Wyrazami szeregu trygonometrycznego są sinusy i cosinusy kątów,

będących wielokrotnościami kąta ^{a suma} tych wyrazów S(x), jeśli

istnieje, jest okresową funkcją zmiennej x o okresie 21; S(x) = S(x-x-2l). Szeregi trygonometryczne są szeroko stosowane przy badaniu różnych procesów okresowych w elektro- i radiotechnice, w teorii mechanicznych drgań sprężystych i w wielu innych dziedzinach nauki i techniki.

Rozwijanie funkcji w szereg trygonometryczny nosi nazwę analizy harmonicznej. w ten bowiem sposób uzyskuje się rozkład pewnego złożonego zjawiska okresowego na proste drgania harmoniczne.

Szeregiem Fouriera dla funkcji f(x) w przedziale [—I, /] nazywa się szereg trygonometryczny o postaci (1), >r którym współczynniki a„ i b_n zostały obliczone ze wzorów Fouriera

bn = -y j f(x)sm—j-dx; «= 1,2,3,...

-1

Najprostsze warunki dostateczne rozwijalności funkcji w szereg Fouriera są sformułowane w następującym twierdzeniu Dirichieta:

Jeżeli funkcja f(x) ma w przedziale [—1, /] skończoną ilość punktów nieciągłości pierwszego rodzaju (lub jest ciągła) i ma w nim skończoną liczbę ekstremów (albo też nie ma ich wcale), to jej szereg Fouriera jest zbieżny, tzn. ma sumę S(x) w każdym punkcie tego przedziału. Przy tym:

a)    v. punktach ciągłości funkcji f(x) szereg jest zbieżny do samej funkcji: S(x) =f(x),

b)    i każdym punkcie x_k nieciągłości funkcji szereg jest zbieżny do średniej arytmetycznej obu granic jednostronnych

S(**) =4- [Hm f(x)+ lim /(¹)]

z x-¹x_k-Q

c)    na krańcach przedziału [—/, /] szereg jest zbieżny do średniej arytmetycznej jednostronnych granic funkcji, przy x zmierzającym do tych punktów od wewnątrz przedziału

5(-0 = S(0-4- t^lim /(¹)+ lim /(¹)]

Dla funkcji parzystej (f(x) = f(—x)) wszystkie współczynniki b_n są równe zeru¹) i odpowiadający takiej funkcji szereg Fouriera nie zawiera sinusów

+ CO

m = -=-+ y_anCos~

2 jLU    i

n= 1

» = - J f /W cos ⁿj dx (n = 0, 1, 2, ...)

0

(3)

ia funkcji nieparzystej (f(x) = —f(—xj) równe zeru są wszystkie współczynniki a„ i odpowiadający takiej funkcji szereg Fouriera zawiera wyłącznie sinusy

455

1

Patrz rozwiązanie zad. 599.