31882 str009 (5)

§ i. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH 9

§ i. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH 9

Zadania przykładowe

Zadanie 1.1. Zbadać zbieżność ciągów:

^{a) z}- - (^ih4)⁺(³-v)- *• ^{b) z}- - (-r⁺4²)

Rozwiązanie, a) Z założenia mamy

(i)

^z--KM³4h

5    1

Podstawiając x„ = H--oraz y„ = 3--, możemy wzór (1) napisać w postaci

n    n

(2)    z„ = x„+iy_n.

5    1

Ponieważ x„ = lH--->1 oraz y„ = 3--->3, to z (2) wynika, że

n    n

z-= 1 +

>z₀ = l + 3i.

b) Z założenia mamy

(3)	/V 2 V2\"
	^z--(t^+,t)-
przyjmijmy
(4)	V2 V 2
	<-T^+,T*
Wiadomym sposobem sprowadzamy liczbę £ do postaci trygonometrycznej

(5)

yjl    sjl    (    n    71

--(- i— = 1 cos —I-1 sin — .

2    2    l    4    4

nn    nn

z„ = cos—hi sin —. 4    4

Uwzględniając (5) w (3) i stosując wzór Moivre’a, mamy:

(6)

....    ⁿⁿ    . mr    .    .

Podstawiając x_n = cos —, y_n = sin —, możemy ostatnią rownosc napisać w postaci 4    4

(⁷)    z_a = x_n+ty_n.

. Widać od razu, że ciągi x„ oraz y„ są rozbieżne. W konsekwencji rozbieżny jest również

ciąg

Zadanie 1.2. Zbadać zbieżność szeregów:

CO    00

Ecosn-f isinn    \ ¹ (2—i\"^J

~i?    ’ ^b) Zj h^-) ‘

«=* l    *=i

t