str007 (6)

/

ROZDZIAŁ 1

Elementy teorii funkcji zmiennej zespolonej

§ 1. Ciągi i szeregi liczbowe o wyrazach zespolonych

Definicja 1. Jeżeli każdej liczbie naturalnej n przyporządkujemy liczbę zespoloną z„ = x_n + iy_n, to mówimy, że został określony ciąg nieskończony.

(1.1)    {z„} = z_l,z₂,z₂...

Definicja 2. Mówimy, że liczba z₀ = x₀ + iy₀ jest granicą ciągu (1.1), co zapisujemy lim z„ = z₀ lub krócej z„-»z₀ >

n-» co

jeżeli dla każdej liczby e>0 istnieje taka liczba N, że nierówność

(1.2)    n>N

pociąga za sobą nierówność

(1.3)    |z„-z₀|<e. ■

Geometrycznie oznacza to, że w kole o środku z₀ i promieniu e dowolnie małym leżą prawie wszystkie wyrazy ciągu (1.1). (Prawie wszystkie, tzn. wszystkie z pominięciem skończonej ilości wyrazów). Ciąg {z„}, mający granicę skończoną z₀, nazywamy ciągiem zbieżnym.

Definicja granicy ciągu (1.1) o wyrazach zespolonych jest formalnie zupełnie identyczna z definicją granicy ciągu o wyrazach rzeczywistych. Z tego też powodu znane dla ciągów rzeczywistych twierdzenia o sumie, różnicy, iloczynie i ilorazie dwóch ciągów zbieżnych pozostają prawdziwe i dla ciągów o wyrazach zespolonych. W zastosowaniach ważne jest następujące twierdzenie, pozwalające badanie zbieżności ciągów o wyrazach zespolonych sprowadzić do badania zbieżności ciągów o wyrazach rzeczywistych.

Twierdzenie 1. Warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby ciąg (1.1) o wyrazach ^zn - *„ + iy„ był zbieżny do granicy z₀ = x₀ + iy₀,jest, by ciągi rzeczywiste {x_B} oraz {y„} były jednocześnie zbieżne odpowiednio do granic x₀ oraz y₀.

Definicja 3. Niech będzie dany ciąg liczbowy o wyrazach zespolonych

0-4)    W_itW₂.....W_n,...