8592539748

Funkcje zespolone.

2 Ciągi liczbowe o wyrazach zespolonych

Funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych o wartościach zespolonych nazywamy ciągiem nieskończonym o wyrazach zespolonych i oznaczamy (z_n). Definicja 2.1. Ciąg (z_n) = (x_n + iy_n) jest zbieżny do granicy (właściwej) zq = xq + iyo, co oznaczamy lim^ z_n = zq, jeśli

V(e > 0)3(Af > 0)V(n > N) \ z_n - z₀ |= (x_n - x₀)² + (y_n - y₀)² < e.

Geometrycznie oznacza to, że w kole o środku w punkcie zq i promieniu e > 0 (dowolnie małym) leżą prawie wszystkie wyrazy ciągu (z_n). (Prawie wszystkie tzn. wszystkie z pominięciem skończonej liczby wyrazów.)

Ciąg, który nie ma granicy właściwej nazywamy ciągiem rozbieżnym.

W teorii ciągów liczbowych o wyrazach zespolonych wprowadza się pojęcie (tylko jednej) granicy niewłaściwej oo.

Definicja 2.2. Ciąg (z_n) ma granicę niewłaściwą, co oznaczamy Jiin^ z_n = oo, jeśli ciąg o wyrazach rzeczywistych (| z_n |) —* +oo. Czyli, że V(M > 0)3(N > 0)V(n > N)\z_n\> M.

Do ciągów o wyrazach zespolonych można stosować twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych w brzmieniu takim, jak dla ciągów o wyrazach rzeczywistych.

Badanie zbieżności ciągów o wyrazach zespolonych sprowadza się do badania zbieżności ciągów o wyrazach rzeczywistych.

Twierdzenie 2.3. Ciąg o wyrazach zespolonych z_n = x_n + iy_n jest zbieżny do granicy zq = Xq + iyo wtedy i tylko wtedy, gdy