4730702391

3. Podaj, ile i jakie miejsca zerowe ma następująca funkcja określona na zbiorze R:

y = (3x +4)³; y = (x —7)13 v²+ 2).

y = (x —l)(x + 2)(2x + 3); y = (x + 5)²(3x-l);

4.    Jeżeli dwa rozkłady liczby całkowitej na czynniki pierwsze różnią się tylko znakami odpowiednich czynników, to rozkłady te uważamy za jednakowe. Rozłóż na czynniki pierwsze: 15, —12, —135, 120.

5.    Sprawdź równości:

6x²+x-2 = (2x—l)(3x + 2) =(6x + 4) =

= (0,4x — 0,2) (15x4-10).

A. ILORAZ WIELOMIANÓW

Określenie 10. Jeżeli wielomian W[x) nie jest wielomianem zerowym, to wielomian P(x) nazywamy dzielnikiem wielomianu W[x) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wielomian Q(x), że

W(x) = P(x) • Q{x).

Mówimy, że wielomian Q{x) jest ilorazem wielomianu W[x) przez wielomian P(x). Mówimy też, że wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x).

Z określenia 10 wynika:

Twierdzenie 19. Dzielnik nie może być wielomianem zerowym.

Założenie: Wielomian P(x) jest dzielnikiem wielomianu W(x). Teza: P(x) nie jest wielomianem zerowym.

Dowód: Dowodzimy metodą sprowadzenia do sprzeczności. Jeżeli AP(x) = 0, to nie istnieje iloraz Q{x\ gdyż iloczyn każdego wielomianu Q(x) przez wielomian zerowy jest wielomianem zerowym i równość (1) nie może być prawdziwa, ponieważ wielomian W(x) nie jest wielomianem zerowym.

Aby zbadać, czy istnieje iloraz wielomianów, i ewentualnie go obli

czyć, postępujemy podobnie jak przy dzieleniu liczb całkowitych.

Przykład 1.

24341:101 = 241 -202 414 -404 101 -101 0

Zatem 24 341 = 101 -241.

Przykład 2.

(2x³ + 4x² — 3x — 6): (2x² — 3).

Oba wielomiany są uporządkowane malejąco.

1.    Dzielimy pierwszy wyraz dzielnej przez pierwszy wyraz dzielnika.

2x³:2x² = x

Mnożymy dzielnik przez x i odejmujemy od dzielnej.

(2x³ + 4x² — 3x — 6): (2x²-3) = x

— 2x³    +3x_

4x²    —6    — pierwsza reszta.

2.    Dzielimy pierwszy wyraz reszty przez pierwszy wyraz dzielnika, 4x²: 2x² = 2.

Mnożymy dzielnik przez 2 i odejmujemy od pierwszej reszty.

(2x³ + 4x² — 3x — 6): (2x² — 3) = x + 2

— 2x³    +3x_

4x²    -6

—4x^z    +6_

0

Druga reszta wynosi 0, zatem:

2x³ + 4x² — 3x — 6 = (2x² - 3) (x + 2).

Nie zawsze istnieje wielomian Q(x) spełniający warunki określenia 10, podobnie jak nie zawsze istnieje taki iloraz liczb całkowitych, który

jest liczba całkowita.

Wykonujemy wtedy dzielenie z resztą.

6* 83