6628926837

V wraz z funkcją 4- określoną na zbiorze V x V par elementów z V oraz funkcją • określoną na zbiorze M x V spełniającymi warunki (V1)-(V10).

Przykład 3.1.2. przykł. 5.2

+

M_mn jest przestrzenią liniową.

Definicja 3.1.3. Rozważmy zbiór ciągów określonych na zbiorze N U {0} o wyrazach rzeczywistych, przy czym dla każdego takiego ciągu a istnieje taka liczba n G N U {0}, że a_n 0 i a_m = 0 dla m > n.

Ciąg a spełniający powyższy warunek nazywamy wielomianem, a wyżej określoną liczbę n stopniem wielomianu a. Zbiór wielomianów R[x] składa się z takich wielomianów oraz wielomianu zerowego 6 = (0,0,...), któremu nie przypisujemy stopnia.

Dla wielomianu a G IR[x] stopnia n stosujemy zapis

a = ao + aix + a2X² + ... + a_nxⁿ lub a(x) = ao + aix + a2X² + ... + a_nxⁿ.

Zbiór wszystkich wielomianów stopnia co najwyżej n (wraz z wielomianem 0) oznaczamy przez M[x]_n.

Wniosek 3.1.4. Zbiór ]R[x] wraz z działaniami dodawania wielomianów i mnożenia wielomianu przez skalar jest przestrzenią liniową.

Dla dowolnego n G N U {0} zbiór R[x]_n wraz z działaniami dodawania wielomianów i mnożenia wielomianu przez skalar jest przestrzenią liniową.

Definicja 3.1.5. def. 5.5

Przykład 3.1.6. Element z Mⁿ jest układem n liczb M.

Ciąg jest układem liczb rzeczywistych indeksowanych zbiorem N.

Definicja 3.1.7. def. 5.6

Stwierdzenie 3.1.8. stw. 5.4

3.2 Podprzestrzenie liniowe

Niech V będzie przestrzenią liniową.

Definicja 3.2.1. def. 6.1 Stwierdzenie 3.2.2. stw. 6.2 Stwierdzenie 3.2.3. stw. 6.3 Wniosek 3.2.4. stw. 6.4

Przykład 3.2.5. def. 6.5

+

Zbiór macierzy symetrycznych n x n, tzn. takich A G M_nn, że A^T = A, jest podprzestrzenią liniową przestrzeni M_nn.

Stwierdzenie 3.2.6. def. 6.6

Stwierdzenie 3.2.7. def. 6.8

Wniosek 3.2.8. def. 6.9

10