0321

323

§ 7. Rozwinięcia funkcj i elementarnych

oraz

(24)

._{= 1}__L_a.₊ A*>_J_

2 8 16

*³ +

35

128

(2n— 1)!!

(2n)l!

*■ + ...

(—1 < * < 1) .

Należy zauważyć, że w przypadku wymiernego m suma szeregu dwumiennego daje zawsze arytmetyczną wartość pierwiastka.

Uwaga I. Na tym opiera się na przykład następujące ciekawe rozwinięcie należące do O. Schlómil-cha. Przede wszystkim podstawiamy w wzorze (23) x = —y², gdzie —1 < y < l,i otrzymujemy bez trudu równość

1 _    = V (2n—3)!!

y Zj (2n)i!

Następnie za y podstawiamy wyrażenie 2z/(l +z²), gdzie z przebiega już wszystkie wartości od — oo do + oo. Okazuje się, że

z,    jeżeli    |z| < 1,

—,    jeżeli    |z| > 1.

z

(2w—3)11 (2n)!l

00

Z

R-l

Przykład ten jest przez to interesujący, że funkcje, wyrażone różnymi wzorami z i 1/z w różnych przedziałach, przedstawia jednym wzorem analitycznym — jako sumę szeregu [porównaj 46, i 363, 5)].

Uwaga II. We wszystkich rozpatrywanych wyżej przykładach było tak, że dla wszystkich wartości x, dla których szereg byl zbieżny, suma jego była równa tej funkcji, której szeregiem Taylora był dany szereg. Dlatego może powstać u czytelnika podejrzenie, że w ogóle wystarczy stwierdzić zbieżność szeregu, nie sprawdzając nawet, czy spełniona jest równość (5), aby było słuszne rozwinięcie (4) lub (6).

W rzeczywistości jednak tak nie jest. Jeżeli powrócimy na przykład do funkcji

/(*) = e'¹"² dla z^O; /(O) •= 0 ,

rozpatrywanej w uwadze w ustępie 138, to jak widzieliśmy, funkcja ta ma w punkcie x = 0 pochodne wszystkich rzędów równe zeru. Jej szereg Taylora postaci (6) z samymi zerowymi współczynnikami jest oczywiście wszędzie zbieżny, ale dla żadnej wartości x z wyjątkiem x = 0 suma jego nie jest równa wartości funkcji wyjściowej.

408. Rozwinięcie kosinusa i sinusa w iloczyn nieskończony. Zapoznaliśmy się wyżej z rozwinięciami najważniejszych funkcji elementarnych w szeregi nieskończone według potęg zmiennej x, tj. przedstawieniem tych funkcji w postaci „nieskończonych wielomianów”. Na zakończenie tego paragrafu przedstawimy funkcje sin x i cos x w postaci iloczynów nieskończonych, które są jak gdyby rozkładem na czynniki odpowiednich „nieskończonych wielomianów”.

Zaczniemy od wyprowadzenia pewnego wzoru pomocniczego. Znamy z algebry tzw. wzór Moi-vre'a (‘)

(cos z+i sin z)^m — cos mz+i sin mz,

gdzie m jest liczbą naturalną. Otwierąjąc nawiasy po lewej stronie według zwykłych reguł i przyrównując do siebie współczynniki przy jednostce urojonej i = ]/—1 po prawej i lewej stronie, otrzymujemy

sin mz = m cos^m~ⁱz sin z—    —?l_cos"~^Jz sin³z+ ..

1-2-3

Jeżeli m = 2n+l jest nieparzyste, to po zastąpieniu parzystych potęg kosinusa według wzoru cos²‘z =

= (1—sin²z)‘ przedstawimy nasz wynik w postaci

(25)    sin (2/»+l) z = sin z-P (sin² z),

gdzie P jest wielomianem całkowitym stopnia n.

(') Patrz, np. dalej ustęp 453.

a*