0315

317

$ 7. Rozwinięcia funkcji elementarnych

są w tym przedziale ograniczone co do wartości bezwzględnej — funkcja e* liczbą e^H, a pochodne funkcji sin x i cos x przez 1.

Ponieważ współczynniki Taylora tych funkcji obliczyliśmy już w ustępie 125, l)-3), możemy od razu napisać rozwinięcia:

(U)

(12)

(13)

sinx = x--^-+-^--... +(-!)*

„2k-l

(2k—1)!

cos x

^{= 1}-2r ⁺ -4r--    + -

4!

(2*)!

Są one słuszne dla dowolnej wartości x.

(b) Łatwo jest w podobny sposób otrzymać rozwinięcia funkcji hiperbolicznych, ale prościej będzie korzystając z ich definicji

sinh x =---, cosh x =--—

wyprowadzić te rozwinięcia przez odejmowanie i dodawanie wyraz za wyrazem szeregu (11) i szeregu

e

+(-D"

który powstaje z niego, gdy zastąpimy x przez — x. W ten sposób otrzymujemy

smhx x+ _3; + ₅₍ + ... + (2fc-l)!

+ ...

ję2

cosh x = l+ —+ — +... + J2kj\

+...

(c) Do funkcji y - arctg x udowodnione na wstępie twierdzenie nie da się zastosować. Rzeczywiście, ogólny wzór na pochodną rzędu n tej funkcji

(14)

/"> = (_n — 1)! cos" y sin n (y + -^ «),

znaleziony w 116, 8), nie gwarantuje wspólnej ograniczoności wszystkich y⁰⁰. Ponieważ odpowiedni szereg Taylora [patrz 125, 6)]

2k — l

3    5    ' ^v '    (2k-l)    •"

jest zbieżny tylko w przedziale < — 1, 1> (*), poza tym przedziałem nie można mówić, że

(') Z kryterium d’Alemberta [377] wynika łatwo, że szereg jest bezwzględnie zbieżny, jeżeli |x|<l, a rozbieżny dla |x|>1. Zbieżność (warunkowa) dla x =» ±1 wynika z twierdzenia Leibniza [380],