0323

$ 7. Rozwinięcia funkcji elementarnych

325

oraz

sin

lim-

2 x 2/1+1

sin²A ■

A²*²

(b — 1» 2, .... k) ,

2n+l

przeto

V -1™ u_r -, (,- £) (.-    ... (.- -£) ■

Wobec (27) istnieje także granica

V_k ■— lim V<ⁿ⁾, przy czym sin x = U_k ■ V_t.

II ~*00

Zajmiemy się. oszacowaniem granicy V_k.

Wiadomo, że dla 0<ę>< -k zachodzą nierówności

- q> < sin <p

[54, (9); 133, 1)]. Dlatego

	sin^2 —-— < —--—-, 2n+l (2/i+1)^2
tak że	sin^2/, * >4 (h--2/1 + 1 !T^2 (2/1+l)^2
(28) Iloczyn nieskończony	l>K‘*>>(l ** , ,.l\ * \ 4 (Ar+1)^2 / \

(gdzie h₀ jest dobrane tak, by było 4h²>x²) jest zbieżny, bo zbieżny jest szereg £ x²jĄh² [twierdzenie

‘-‘o

5°, 401]. Wobec tego iloczyn

)

musi dążyć do 1, gdy k jeżeli napiszemy

oo [401, 2°]. Jest oczywiste, że wzmocnimy tylko drugą z nierównością (28),

1 > V™ > V*.

Przechodząc do granicy przez rt -* oo i ustalonym k, otrzymujemy nierówność

1 > V_k> V*.

Stąd wynika, że lim V_k = 1, a zatem lim U_k = sin x, toteż otrzymujemy wreszcie ciekawe rozwinięcie £-►00 *-*00

(29)

sin x = x

uzyskane po raz pierwszy przez Eulera.