3582320325

Element analizy zespolonej

1. Funkcje zmiennej zespolonej.

def:    lim ^ = z = V_e>03 _¥V :\z_n-z\<E

n—>oo    ^    ^v

(x,y);[x,ył; x=(y+i , ²=-*L,|    \z-z_a\=dist(z,z₀) \z-z₀\<e

J    J

nc£_ff:fl-»£.V.A=f(z)e£

dimi = z, arg f(z)

lim f(z)=A = V_e>03_8>0\/_!sn:Q<\z-z_Q\<8=*\ f{z)-A\<£

X—*Xq

Funkcja f musi być ciągła w każdym punkcie.

Funkcje zespolone mają analogiczne własności do funkcji wymiernych.

2. Różniczkowanie dziedziny zespolonej.

z₀ e £1, z = z₀ +Vz e Q

£1 = int(ff!) cz £ = Zg€ K(z₀, r):={ze £ :|z-z₀|<r}c£l

i_mM=rw

Z - Z„

z — z₀=(x + iy) —(x₀ + iy) = x—x₀

lim

Hm

z - 2-

⁰    Rez=x-»x₀

u(x,y) + iv(x_iy)-u(x_<t,y₀)~iv(x_c,y₀)

= lim

X-»Xq

Łi(x,y)~u(x_0Jy₀) _[ .v(x₃y)-fv(x₀₃y₀) x-x_Q    x-x₀

x-x₀

-iim^ti(x,y)~^ti(Wo) I ilim^V(X,y)~^V(Wo)

X — Xq    X-tXg    x —x₀

d_

dx

_d_

dy

—pochodne_wzgledem_axgumentu_x — pochodne_wz gl e dem_argumentu_y

stąd f'(z) =    y_o) + >~(x_o, y_o)

dx    ax

=:lim^V^^,y^~^V^^,yo^ f]im^Łl^^X,y^~^Łl^^Xo,y<1^

= lim

Z->Z(,

*=*0 y-yy_a

^-i^osy₀)-i^-ix₀,y₀)

(fy    (fy

dv    du

stąd f'(z) = —(x₀,y₀)-i—(x₀,y₀) dy    dy

Obie granice muszą być sobie równe

Wo)+'7^( Wo) ^(WoH^iWo)

dx    dx    dy    dy

Warunki de Lamberta, Reimanna-Cauchyego na różmczkowalność funkcji zespolonej:

A

Ky-y_a)

*-»*o

y~y_a

x->*a

y-y_a

—(wo) =x( ^w°)

dx    dy

Ąwo) =~{xv>y_Q)

dx    dy

3. Ciągi i szeregi potęgowe.